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1、第四讲全等三角形的性质与判定一教学目标：1.了解全等三角形的概念2.掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质3.会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题重点难点：1.学习综合证明的格式.2.提高利用全等三角形的性质与判定分析、解决问题的能力.知识导航：1全等三角形的概念与性质1全等形的概念：两个能够完全重合的图形叫做全等形.2全等形的性质：全等图形的形状和大小都相同.3全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如果DABC能与DABC全等,记作DABCDABC.4全等三角形的对应元素：两个三角形全等,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.5
2、表示方法：符号读作全等于,如ABC和DEF全等,记AD作ABCDEF,如图,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,AB和DE、BC和EF,AC和DF是对应边,A和D、B和E、BECFC和F是对应角.6全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.2.三角形全等的判定1边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等,简写成边边边或SSS.书写格式：在列举两个三角形全等的条件时,把三个条件按顺序排列,并用大括号将它们括起来,如：AB=AB在DABC和DABC中,AC=AC ,DABCDABC SSSBC=BC2边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成边角边
3、或SAS.27 / 73角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成角边角和ASA.4角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成角角边和AAS.5直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成斜边、直角边 或HL.考点/易错点1用SAS判断两个三角形全等的条件是两条边以与这两条边的夹角对应相等,应特别注意其中的夹角是 两一直边的夹角而不是其中一边的对角.用ASA定理来判断两个三角形全等,一定要证明这两个三角形 有两个角以与这两个角的夹边对应相等；用AAS定理来判断两个三角形全等,注意边是其中一角的对边.例举两个三角形全等的条
4、件时,列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应.考点/易错点2判断两个三角形全等常用的方法如下表：已知条件可判定方法寻找条件两边对应相等SSS或SAS第三边或两边的夹角对应相等一边与其邻角对应相等SAS、ASA已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等一边与其对角对应相等AAS另一个角对应相等两角对应相等ASA、AAS两角的夹边或其中一角的对边对应相等考点/易错点3应用斜边、直角边判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两 个三角形前加上Rt.一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用,但HL定理只适用于直角三角形 全等的判定,对于一般三角形不适用.考点/易错点
5、4两个三角形不一定全等的情况：在两个三角形中三对边和三对内角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对应相等,那么这两个 三角形不一定全等.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等.典型例题：例1图中是大小相等的两个矩形,请你判断出哪一个阴影部分的面积较大A甲图的阴影面积大B乙图的阴影面积大C甲、乙图的阴影面积相等D以上都不对答案C解析左右两边图形中,每个小阴影的面积都等于相邻的空白的面积,所以阴影的面积等于矩形面积的一 半；而两个图形的大小相等,则甲、乙图阴影面积相等例2如图所示,ABCAEF,AB=AE,B=E,在下列结论中,不正 确
6、的是AEAB=FACBBC=EFCBAC=CAFDAFE=ACB答案CABCAEF,AB=AE,B=E,BC=EF,AFE=ACB,EAB=FAC,BAC=CAF不是对应角,因此不相等解析确认两条线段或两个角相等,往往利用全等三角形的性质求解例3尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心,任意长为半 径画弧交OA,OB于C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP由作法得OCPODP的根据是ASASBASACAASDSSS答案D以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,即OC=OD；以点C,D 为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,即CP=
7、DP；OP公共故得OCPODP的根据是SSS解析考查了三边对应相等的两个三角形全等SSS这一判定定理例4如图,在RtABC中,BAC=90,AC=2AB,点D是AC的中点将一块锐角为45的直角三角板 如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC试猜想线段BE和EC的数量与位置关系,并证明你的猜想答案数量关系为：BE=EC,位置关系是：BEEC证明：AED是直角三角形,AED=90,且有一 个锐角是45,EAD=EDA=45,AE=DE,BAC=90,EAB=EAD+BAC=45+90=135,EDC=ADCEDA=18045=135,EAB=EDC,D是AC的中点,AD=C
8、D= AC,AC=2AB,AB=AD=DC,在EAB和EDC中,EABEDCSAS,EB=EC,且AEB=DEC,BEC=DEC+BED=AEB+BED=AED=90,BEEC解析证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等例5如图所示,将一长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点E处,折痕为MN,图中有全等三角形吗？若有,请找出并证明答案四边形ABCD是长方形,AB=DC,B=C=DAB=90四边形NCDM翻折得到四边形NAEM,AE=CD,E=D=90,EAN=C=90AB=AE,B=E,DAB=EAN,即：BAN+NAM=EAM+NAM,BAN=EAM在ABN与AE
9、M中,ABNAEMASA解析判定两个三角形全等时,必须有边参与,若有两边一角对应相等,角须是两边夹角例6在ABC中,ACB=90,AC=BC,BECE于点EADCE于点D求证：BECCDA答案证明：BECE于E,ADCE于D,BEC=CDA=90,在RtBEC中,BCE+CBE=90,在RtBCA中,BCE+ACD=90,CBE=ACD,BEC=CDA在BEC和CDA中,CBE=ACD,BECCDABC=AC解析本题根据AAS 证明两三角形全等,难度适中例8如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是A带去B带去C带去D带和去答案C第一块
10、,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法；第二块,仅保留了原三 角形的一部分边,该块不行；第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,符合ASA判定, 应该拿这块去解析主要考查对全等三角形的判定方法的灵活运用,要求对常用的几种方法熟练掌握课堂检测：1.如图,方格纸中有四个相同的正方形,则1+2+3 为A90B120C135D1502.下列各组图形中,是全等形的是A一个钝角相等的两个等腰三角形B两个含60的直角三角形C边长为3和5 的两个等腰三角形D腰对应相等的两个直角三角形3.如图,ABCDCB,若A=80,ACB=40,则BCD等于A80B60C40D204.如图,若
11、ABCAEF,则对于结论：1AC=AF；2FAB=EAB；3EF=BC；4EAB=FAC其中正确的个数是A1 个B2个C3 个D4个5.如图,在ABC和DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使ABCDEC,不能添加的一组条件是ABC=EC,B=EBBC=EC,AC=DC CBC=DC,A=D DB=E,A=D 课后作业：1.边长相等的6个正方形的组合图形,则1+2+3 等于A60B90C100D1352.在ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,若ADBEDBEDC,则BAC的度数是A90B100C105D1203.RtABC中,ACB=90,A=20,ABCABC,若AB恰好经过点B,AC交AB于D,则BDC的度数为A50B60C62D644.ABBC于B,BEAC于E,1=2,D为AC上一点,AD=AB,则A1=EFDBFDBC CBF=DF=CDDBE=EC5.ABC中,已知：AB=AC,BD=DE=EF=FC,则图中全等三角形有A1 对B2对C3 对D4对6.在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E求证：ADCCEB；DE=ADBE7.如图,D是ABC的BC边上一点且CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线求证：C=BAE8.凸五边形中,B=E,C=D,BC=DE,M为CD中点求证：AMCDABECMD
