材料力学内部习题集及问题详解.doc

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1、word第二章 轴向拉伸和压缩2-1 一圆截面直杆，其直径d20mm, 长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重80kN/m3, 杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN，试求此杆的：最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移。解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为故最大正应力为：最大线应变为:当为杆内斜截面与横截面的夹角为时，取A点为轴起点，故下端处横截面的位移为：2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长L。杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为。解：距离为x处的轴力为 所以总伸长 2-3 图示结构，两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E

2、=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为14104，22104，试确定荷载P与其方位角的大小。解: 由胡克定律得相应杆上的轴力为取A节点为研究对象，由力的平衡方程得 解上述方程组得2-4 图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1F2F，杆的横截面面积为A，材料的应力应变关系为cn，其中c、n为由试验测定的常数。(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，如此所得的结果如何？(3) 当n1时，上述两解答是否一样？由此可得什么结论？解：轴力图如图a所示。根据：如此采用叠加法。单独作用F1时，轴力图如图b所示。单独作用F2时，轴力图如图c所示。如此当

3、n=1时，上述两解答一样。结论：只有当与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5 试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，两根杆的抗拉刚度均为EA。解： 取C点分析受力情况，如图b所示，得因此只有CD杆有伸长 变形几何图如图c所示 ，得 。2-6 刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。钢丝的E210GPa，绳横截面面积A100mm2，荷载F20KN，试求C点的铅垂位移不计绳与滑轮间的摩擦。解：首先要求绳的内力。刚性梁的受力分析如图，由平衡方程：解得： 绳的原长 绳的伸长量为 在作用下结构变形如图， 可得： 再由三角几何关系得：由、式联立可得：又因为：所以，2-7 图示

4、结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d225mm，E2=100GPa，试求：(1) 外力F作用在何处(x？)时AB梁保持水平？(2) 如此时F30kN，如此两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1). 容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为从而AC杆、BD杆的伸长量假如要AB梁保持水平，如此两杆伸长量应相等，即.于是,(2).当时，两拉杆横截面上的正应力分别为2-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F20 kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A500mm2，L1m，试求：(1) AC之间的相对位移A

5、C，(2) 假如将两力F改至BD点，如此BD点之间的相对位移BD又如何？解：(1)取节点为研究对象，受力分析如图(b)由平衡方程：,得同理，可得：节点受力分析如图(c)，,四杆材料一样，受力大小一样，所以四个杆的应 变能一样，可求得整个杆件应变能为：力作的功为： 由弹性体的功能原理得： 当两力移至两点时，可知，只有杆受力，轴力为所以 从而 2-9图示结构，三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2, E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力与荷载作用点B的竖向位移。解：取AB为研究对象，选取如下列图坐标轴，故，即,即,于是得 ， ，即，于是 ，解得：，所有构件的应变能为由功能原理

6、得，作的功在数值上等于该结构的应变能即：所以 .2-10 图示结构，四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。解：(1)以B结点为研究对象，受力图如图a所示由 得得以刚性杆为研究对象，受力图如图b所示由 得由 得(2)由于1，2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以与B结点的下降如图c由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降如图d如此2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如下列图。此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。(1) 如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？(2) 如改变角使麻绳不断，如此麻绳的长度至少应为

7、多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系. 由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N. 即 而如此于是,此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时其中如此解得:答：(1)N=417N (2)L2-12 图示结构，BC为刚性杆, 长度为L, 杆1、2的横截面面积均为A，其容许应力分别为1和2，且1=22，荷载可沿梁BC移动, 其移动X围0xL, 试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，如此由公式可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍

8、。此题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即此时，对力的作用点求矩得：解得：此时，由竖直方向的受力平衡得：2-13 图示结构，AC为刚性杆, BD为斜撑杆, 荷载F可沿杆AC移动,试问：为使BD杆的重量最轻, BD杆与AC杆之间的夹角应取何值？解：如下列图，取整体为研究对象，对A点取钜，由得：而如此要想使重量最轻，应该使sin2最大，即2=90解得：=452-14 铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。取整体为研究对象，对A点取钜，由

9、得： 解得： 取D节点为研究对象，由平衡方程得：如此可以解得：同理，对于B节点，也有平衡方程：如此可以解得：于是，由许用应力定义得：2-15 圆截面钢杆如下列图，材料的E=200GPa，假如杆内应变能U=4Nm,试求此杆横截面上的最大正应力。解：各截面压力一样为应变能 代入数据 可得kNMPa2-16 图示杆件的抗拉压刚度为EA，试求此杆的应变能。解：如下列图，为杆件的轴力图，如此杆件的应变能计算应该分为两局部。其中：如此：第三章 扭 转3-1 直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力max=100Mpa，试求图示阴影区域内所承当的局部扭矩。解：法1 距圆心处切应力为阴影局

10、部扭矩k法2:距离圆心处切应力为kN3-2将空心管B和实心杆A结实地粘结在一起而组成一实心圆杆，如下列图。管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。试分别求出该组合杆承受扭矩MT时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。答：实心杆：，空心管：解：设实心杆受扭矩，空心管受扭矩，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，由得 +=；对两杆接触截面的相对转角一样，即=；且=，=；所以=，=；如此实心杆：=，空心管：=3-3 图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少用百分比表示？解：由题意可知，从强度方面考虑，即： 截面为圆时，当截面为正方形时，如图，边长查表

11、可得，当时，所以 所以降低为： 3-4 受扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m，直径d20mm，材料的剪切弹性模量G80GPa，两端截面的相对扭转角0.1rad, 试求此杆外外表处沿图示方向的切应变、横截面上的最大切应力max和扭转力偶矩Me。答：=1103，max80 MPa，Mem解：由公式,=得出Mem且=80 MPa， 由，得=.3-5 圆截面橡胶棒的直径d40mm，受扭后，原来外表上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86，如杆长L300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的GMPa，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。解： rad所以 rad MPa另外 因为所以 3-6 一

12、根在A端固定的圆截面杆AB如下列图，图中的a、b与此杆的抗扭刚度GI均为。杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面C处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂与指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。当刚性臂与指针仍保持水平时，试求MD和ME。解：扭矩图如图a所示要保证指针与刚性臂保持水平如此得 1得 21、2两式联立 得 3-7 图示圆截面杆，其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为T的扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。解：对1-1截面，有,.对2-2截面，有,.作出扭矩图.(2)杆的应变能.第四章 弯曲

13、应力4-1试作如下梁的剪力图和弯矩图。解：a1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段： 3、作剪力、弯矩图b1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段： 3、作剪力、弯矩图c1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图d1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。解：a1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AB段： 3、作剪力、弯矩图b1、计算支反力

14、由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图c1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、弯矩图d1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AC段：CD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图e1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、弯矩图f1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图4-3简支梁的剪力图如下列图，试作此梁的弯矩图和荷载图。梁内假如有集中力偶

15、，如此作用在右端。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-4简支梁的弯矩图如下列图，试作此梁的剪力图和荷载图。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-5试作图示简单刚架的内力图。解：a1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 即 得 2、列内力方程AB段：BC段： 3、作内力图b1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段： 3、作内力图c1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段：CD段： 3、作内力图d1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段：CD段： 3、作内力图4-6试作图示梁的内力图。解：对系统进展受力分析如图b1由得 由得，由得因此图示梁

16、的内力图如图b2所示。M图有问题4-7试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成 ？解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时，由对称可知最大弯矩发生在正中，即2、当力F在最边缘位置时，由平衡条件： 即 得 即 得最大弯矩发生在B处，即所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最优，即 即4-8试推导梁受均布弯曲力偶m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。解：由题意如下列图，由平衡条件： 即 得 即 得所以AB段：4-9悬臂梁与其剪力图如图a、b所示，假如在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图与荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转

17、向。解：由剪力图知AC段受均布力作用，大小为；C点受集中力；BC段受均布力，大小为 如此可作出荷载图与弯矩图如下：4-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为Mx=ax3+bx2+c，其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。解：当x=0时， 因此c表示自由端作用的弯矩为c。由为三元一次函数得知,集中荷载为一元一次函数，令 并且以自由端为原点建立坐标系如下列图得即所以。4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度a与梁长L之比。解：1、计算支反力 由

18、平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段：3、作弯矩图4、由弯矩图可知，当时，最大弯矩值最小，解得或舍去4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时，跳板的受力最合理？解：如图所示，当位于AB中点或者位于跳板的右端点D时，会在跳板上产生最大的弯矩。当F位于C处时： 所以 又 所以 所以 此时弯矩图如图b所示。当位于处时： 所以 所以 得 因此 此时弯矩图如图c所示。最合理时 ，即， 得 ，因此当时最合理。 4-13开口圆环，其受力如下列图，环厚为h垂直于纸面，p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。解：如图，在任意截面1-

19、1处， 在1-1截面与开口之间取一小段长为，宽为，如此所受合力 对截面1-1处的弯矩为 所以对整段环的合弯矩为4-14如下列图，bh的矩形截面杆，其弹性模量为E，承受三角形分布载荷Px，其方向与x轴夹角为，试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为和处的两横截面，设坐标为处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。该处的荷载集度为，如此在坐标为处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。梁段在以上所有外力作用下平衡。故，即 ， 解得：；又 ，即 ,解得：；再由，即，二阶无穷小项得：.4-15宽为b=30mm，厚为t = 4mm的钢带，绕装在一个半径为R的圆筒上。钢带的弹性模量E=200GPa，比例

20、极限p=400MPa，假如要求钢带在绕装过程中应力不超过p，试问圆筒的最小半径R应为多少？解：由题意钢带的曲率为 即 可知越大，R越大； 所以4-16空心圆截面梁如下列图。试求横截面1-1上K点处的正应力，并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大，其值等于多少？解：1、求支反力 由平衡方程 即 得 即 得 2、求1-1截面处的弯矩 3、求该截面上K点处的正应力4、求 由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处，其中 ， ， ，所以 ， 如此4-17用一样材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载与约束均一样。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：

21、设截面面积为A，圆形截面直径为d，正方形截面边长为a，如此有 即 由公式得最大正应力分别为所以4-18 T形梁截面如下列图。截面上Mm，Iz106m4，试求截面上、下边缘处的正应力与中性轴以上局部截面的正应力构成的总压力与压力作用点的位置。解：根据得 “-号表示压应力 解得4-19梁的横截面如下列图。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变=0.0003，下端纵向纤维拉伸应变=0.0006。试求截面上阴影局部总的法向内力。材料的E=200GPa。解：由与得：，由于同一截面上、与一样，故与成正比。由上端，下端得：,，故，阴影局部总的法向内力为：4-20矩形截面梁的截面尺寸如下列图。梁横截面上作用有

22、正弯矩M=16kNm与剪力Fs=6kN，求图中阴影面积与上的法向内力与切向内力。解：分析截面：由对称知中性轴既是形心主轴 由积分得 压力 拉力4-21为了提高梁的弯曲强度，如下列图在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度较小时，反而会使弯曲强度降低，尺寸b、b1、h，试求抗弯强度为最低时的肋板高度h1。解：梁的正应力强度条件为 由题意可知 而 ，所以只需求解，将梁截面分为三局部令 得： 所以4-22图示圆形截面悬臂梁，受均布荷载q作用，试计算梁横截面上最大切应力、最大正应力与它们两者的比值。解：剪力图，弯矩图如下列图。由圆形截面知所以，。4-23矩形截面梁高为h，试问在距中性轴多远处，横截面上的切应

23、力等于平均切应力？解：距截面中性轴为y处的切应力 题 423 图其中为截面上距中性轴为y的横线以外局部的面积对中性轴的静矩。如此平均切应力为，式中，要使截面上切应力等于平均切应力，即使，解得 4-24木制悬臂梁受载如下列图。试求中性层上的最大切应力与此层水平方向的总剪力。答：max=0.3MPa Fs*=30kN解：分析截面 梁所受剪力为 如此中性层上的最大切应力为 此层水平方向的总剪力为4-25 T形截面梁如下列图。Fs=100kN，Iz=11340108m4，试求中性轴与翼缘与腹板交界点处的切应力。解：分析截面 由得 中性轴上 交界点处4-26梁横截面上的弯矩M=60kNm，横截面尺寸如下

24、列图。试求此截面上的最大正应力。解：分析截面 所以4-27由50号工字钢制成的简支梁如下列图。试求横截面上的最大正应力和最大切应力。解：1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力图与弯矩图 由图可知 3、求最大正应力和最大切应力4-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。解：1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力图与弯矩图 由图可知 3、求最大正应力和最大切应力分析截面 如此 4、绘出危险截面上正应力和切应力的分布图4-29在图中如以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截取一局部，试求在纵向面m上由微内力dA所组成的合力

25、，并说明它与什么力平衡，用图表示。 解：求支反力：由平衡方程 即 得 即 得 求合力T：分析小块，在处所受切应力为 由受力平衡如此 所受合力为 它与所在横向面所受拉应力平衡。4-30从图示梁中取出一脱离体，试求其横截面上：最大、最小正应力；最大、最小切应力；正应力组成的法向内力N*；切应力组成的切向内力S*。纵向面上切向应力。 解：1对于横截面来说，段上的正应力最大,其值为：，段上的正应力最小,其值为：，2段上的切应力最大，其值为：，段上的切应力最小,其值为：，3正应力组成的法向内力为：4切应力组成的切向内力为：5纵向面AAcc上切应力组成的切向应力 4-31一根木梁的两局部用单行螺钉连接而成

26、，其横截面尺寸如下列图。剪力FS=3kN，IZ106 m4，螺钉的容许剪力为700N，试求螺钉沿梁纵向的间距a。解：截面上处由剪力引起的切应力为，由切应力互等定律木梁两局部连接面上有切应力，所以一个螺钉所承受剪力为：容许剪力为所以所以间距 为 4-32用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图a所示，每块木板的截面均为150mm25mm，如每一螺钉的容许剪力为1.1kN，试确定螺钉的间距a。又如改用图b所示的截面形状，其他条件不变，如此螺钉的间距a应为多少？答：aa=0.117m； ba解：a由平衡条件得 如此 如此 分析截面a：由对称知形心主轴即是对称轴 如此两极连接处 所以在两极连接处所受的切应

27、力为 由题意即解得b同理对截面有由得 所以 解得4-33用20号工字钢制成的简支梁如下列图。由于正应力强度不足，在梁中间一段的上下翼缘上各焊一块截面为120mm10mm的钢板来加强，如材料的=160MPa，试求所加钢板的最小长度L1。解：经查表得20号工字钢的参数 ，h=200mm，b=100mm。受力分析知简支梁的受力图，剪力图，弯矩图如图1由弯矩图知，距中心处的弯矩为由带入数据得最小长度.4-34图示铸铁T形截面梁，IZ106m4，材料的 t=40MPa，=60MPa，试校核此梁的正应力强度。 解：1、求支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、作剪力、弯矩图3、校核正应力强度由题意 如此此

28、梁不安全。4-35有一桥式起重机，跨度l=10.5m，用36的工字钢作梁，工字钢的IZ=15760cm4，WZ=875cm3。梁的许用应力=140MPa，电葫芦自重12kN，假如起重量为50kN时，梁的强度不够，为此在工字钢梁中段的上、下缘各焊一块钢板如图，试校核加固后梁的强度，并求加固钢板的最小长度L。解：由题意当电葫芦在梁中间时，所受最大弯矩最大为 此时加固后 如此 由题意临界情况时，电葫芦刚好在加固板一端，此时 由平衡条件 即 得如此此时 解得 如此4-36在图示工字钢梁截面的底层，装置一变形仪，其放大倍数K=1000，标距S=20mm。梁受力后，由变形仪读得S=8mm。假如L=1.5m

29、，a=1m，E=210GPa，试求载荷F值。解：由题意1-1底层处发生的形变为 如此此处所受拉应力为 由对称可知如此1-1处所受弯矩为 在1-1底层所受压应力为 即 即 解得4-37直梁的横截面如下列图，横向载荷作用在对称平面xcz即截面对称轴z与轴线x组成的平面内，该截面上的弯矩M=12kNm，剪力FS=12kN，试计算该截面上：1A、B两点处的正应力；2max和max；3沿aa的正应力和切应力分布图。解：1分析截面： 由公式得2在中性轴处在B处所以4-38图示简支梁受荷载F1，F2，q1，q2和m的共同作用。1试作梁的剪力、弯矩图。2假如梁为矩形截面，材料的容许拉压应力=6MPa，容许切应

30、力=1MPa，试校核此梁的强度。解：由得：，由得：，由弯矩图得，最大拉应力在端，最大拉应力为：，最大剪力为，最大切应力为：0，挠曲线向下凸；M0，挠曲线向上凸。5-2图示各梁EI=常数。试写出各梁的位移边界条件，并画出梁挠曲线的大致形状。设梁的最左端断点为坐标原点，x轴正方向向右。如此各梁边界条件、弯矩图与梁的挠曲线大致形状如下：(a)(b)(c)(d)(e)(f)5-3试画出图示梁挠曲线的大致形状。5-4如要使图示结构B端的挠度为零，如此长度x应为多少？试画出此时AB梁的挠曲线大致形状。答：解:固定端约束反力如下列图。如此AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为Ml=Fl-FL-x 由挠曲线微

31、分方程得：EI=-Ml=FL-x-Fl积分得：EI= FL-xl-l+C;再积分得：EI=L-xl-l+Cl+ C；由边界条件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0EI=L-xl-l；由题意知l=L时，=0得x=LAB梁挠曲线大致形状：Ml=Fl-L；0l时，Ml0;l05-5图示刚架在端点C处受集中力F作用，试求当B点的铅垂位移为零时的比值。答：解：固定端约束反力如下列图。如此AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为Ml=Fl-FL-a 由挠曲线微分方程得：EI=-Ml=FL-a-Fl积分得：EI= FL-al-l+C;再积分得：EI=L-al-l+Cl+ C；由边界条件l=0 ，=0得C=0

32、；由=0得C=0EI=L-al-l；由题意知l=L时，=0得a=L=5-6试用叠加法求图示梁自由端挠度fB和转角B，并画出挠曲线的大致形状。答：解：1在均布荷载单独作用下： 查表得=l=4a=a；=l=4a=a 2集中荷载单独作用下：= 3a=a；=+a= 3a + aa=a由叠加原理得：f=+=a +a=a=+=a+a=a5-7长度为4a的静定梁的挠曲线方程为，试用图表示此梁所受荷载与梁的支座，并求梁内最大弯矩。答：解：设Fx=;EIv=Mx;因此对Fx求二阶导数得：Mx=F x=；由弯矩与剪力的微分关系得：当时，=0，弯矩绝对值最大，； 可推断知此梁所受荷载与梁的支座情况如图：5-8直梁的

33、挠曲线方程为。试求： 1截面处的弯矩；2最大弯矩；3分布荷载qx；4梁的支承情况。答：，qx=，梁为两端铰支的简支梁。解：设；对Fx求二阶导数得：；1；2；令得；3；4；梁为两端铰支的简支梁。5-9一等截面悬臂梁抗弯刚度为EI，梁下有一曲面，其方程为y=Ax3，欲使梁变形后与该曲面正好贴和曲面不受力，试问梁上需加什么样的荷载？答：在B端加F=6AEI的向上集中力和Me=6AEIL的顺时针集中力偶。解：欲使梁变形后与曲面正好贴合，如此梁挠曲线方程与曲面方程一样。；如此；由剪力，弯矩方程与边界条件可知：需在梁B端加载的向上的集中力和的顺时针的集中力偶。5-10梁ABCD原来是水平的，然后如下列图那

34、样在C点施加向下集中力F，如此梁向下挠曲，如希望在B处加一向上集中力以使B点的位置回到原来的水平线ABCD上。试问在B点需加多大的力？答：解：集中力不在梁中点，可采取叠加原理求解。查表得集中力不在梁中点时梁挠曲线方程为；1单独在C点施加集中力F时，满足条件：。代入方程得：；2单独在B点施加集中力时，满足条件：。代入方程得：；使B点位置回到原水平线ABCD上，如此5-11重量为Q的直杆放在水平的刚性平面上，在它的一端作用一大小为F=的力，试问由于此力的作用，杆从平面上被拉起的长度a等于多少？并求出其端部提起的高度。答：，解：由题意设段被拉起仍为平放段，整个杆上受力情况如图b由于处 即 如此由于

35、杆段B处可以简化为固定端，从而杆段简化模型为图c提升高度 5-12变截面悬臂梁如下列图，全梁承受均布载荷q的作用，试用叠加法求A截面的挠度。E，I为。答：解：利用叠加原理，原图等效为以下四图的叠加。如同所示：查表得悬臂梁自由端的挠度和转角公式：1234叠加得：5-13试用等截面梁的挠度、转角表计算图示简支梁跨度中点的挠度fC。答：解：利用应变能求解，由于梁与荷载轴对称，可以只取左半段研究。由静力学平衡易求得支座反力为，如此得5-14试求图示梁荷载作用点C的挠度。答：解：利用应变能求解，由静力学平衡方程易求得，向上。 以B端为坐标原点，坐标轴正方向向左。如此 左半段；所以对整个梁求应变能：，从而

36、得5-15试求图示梁跨度中点C的挠度。答：解：利用应变能求解，由静力学平衡方程易求得，由对称关系知梁的应变能为：，得5-16图中所示的梁具有中间铰B和C，EI为。试画出挠曲线的大致形状，并用叠加法求F力作用处的挠度。解：, 为铰接，受力如图a力矩平衡可得 且各点挠度 5-17图示梁在B截面处支承一弹簧，弹簧刚度即引起单位长度变形之力为k，试求A截面的挠度。EI为。答：解：1弹簧受力，对梁：得2将梁AC等效为AB，BC两局部，如图：5-18设梁上受有均匀分布的切向载荷，其集度为t，假如E为，试求A点的铅垂位移挠度与轴向位移。答：，解：1由于荷载偏离梁的轴心，根据力的平移定理原荷载等效为集度为t的切向荷载均匀分布于梁的中性轴，同时附加一个力偶。x为梁上任一截面到A点的距离由得负号表示位移向下2因为转角表示梁中性轴一点相对原来轴线的转角，由此引起A点的轴向位移水平向右；