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1、目录第一课有理数3第二课数轴、相反数与倒数8第三课绝对值14第四课有理数的加减法18第五课有理数的乘除法25第六课有理数的乘方29第七课有理数的加减混合运算34第八课有理数的混合运算37第九课有理数的简算42第十课有理数单元测试48第一课 有理数知识要点1正数和负数为了表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量规定为正的,另一种与它的意义相反的量规定为负的,正的量用算术数前面加+号表示,如+6,等,带有正号的数叫正数正号可省略不写,负的数量用算术数前加号表示,如4,等,带有负号的数叫负数.2有理数正整数,0,负整数统称为整数,正分数,负分数统称分数,整数和分数统称有理数.3有理数的分类：1
2、24用正数和负数表示相反意义的量：可以主观规定哪种意义的量为正数,那么具有相反意义的量就必须为负数.5零的概念零既不是正数也不是负数,它是正数、负数的分界.零是整数,也是偶数.非负数就是零和正数.典型例题例1把下列各数填在相应的大括号里. 1,0,+0.8,正数集合；负数集合；正整数集合； 负整数集合；正分数集合； 负分数集合；整数集合； 有理数集合例21如果把上升20m记作+20m,那么下降15m记作2海平面的高度一般用数表示,比海平面高8848m的山峰处,它的高度记作海拔m,比海平面低11034m的海沟处,它的高度记作海拔m.3粮食产量增产12%,记作+12%,则减产8%记作例3我会判：1
3、零是正数 2零是整数 3不是正数的数一定是负数 4零是偶数 5零是非负数 6零是负数 例4数学考试成绩85分以上为优秀,以85分为标准,老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9,4,+11,7.0,则这五名同学的实际成绩分别为多少？例5表达出下列语句所表示的意义：1向东走100米 2气温上升33支出100元 思考并回答：10和1之间有没有正数？20和1之间有没有负数？例6粮食每袋标准重量是50千克,现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：51千克、52千克、49千克,如果超重部分用正数表示,不足部分用负数表示,请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数并求出他们的平均重量是多少？课堂练习1. 1如
4、果零上2记做+2,那么零下4记作2如果收入50元记作+50元,那么支出30元记作 3如果下降10米记作10米,那么上升20米记作 4如果向南走5米记作5米,那么向北走10米记作2. 判断正误1正整数中有没有最小的数？ 2正整数中有没有最大的数？3负整数中有没有最小的数？ 4负整数中有没有最大的数？5正数中有没有最大的数？ 6正数中有没有最小的数？7负数中有没有最大的数？ 8负数中有没有最小的数？3. 提供下列数据,请填入相应的大括号内,2,80,0.001,3.14,0,100 正数集合,负数集合, 整数集合,分数集合4. 下列说法正确的是 A. 有理数不是正数就是负数 B. 0是最小的有理数
5、 C. 正数和负数统称为有理数 D. 是分数也是有理数5. 下列说法正确的个数有 10既不是正数,也不是负数2是负数,但不是分数 3自然数都是正数4负分数一定是负有理数 A. 2个 B. 3个C. 4个 D. 1个6. 下列说法正确的是 A. 一个有理数不是正数,就是负数B. 整数一定是正数 C. 最小的整数是0D. 自然数是整数7. 关于0,下列说法正确的个数有 个0既不是正数,也不是负数； 零既不是整数,也不是分数；0不是自然数但它是整数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 有理数集合是 A. 正数与负数的集合 B. 正整数、负整数与分数的集合 C. 整数与分数的集合 D. 整数与
6、负数的集合9. 说出下列语句的意义：1收入20元；2支出120元；3前进2米10. 一艘潜水艇的高度是80米,如果它上浮10米,这时它所在位置是海平面以下米11. 一条笔直的公路,A. B两地相距6千米,某同学骑自行车从A地去B地,他骑车走了2千米,却与B地相距8千米你能说出这是为什么吗？课后作业1. 在下列各数中：8,0.07,0.3,1999,3456,88.8,0,是正数；是负数2. 把下列各数填在相应的大括号里将各数用逗号分开： 8,0.07,0.3,1999,3456,88.8,0,正整数集合：,负整数集合：；正分数集合：；负分数集合：整数集合：；3. 如果+120吨表示运进仓库粮食
7、120吨,那么50吨表示4. 冬天某地的某一天,早晨5时的气温是零下2度,记作2,上午10时,气温上升到零上2度,应记作,正午12时比上午10时上升了1度,这时的气温应记作,下午6时比正午12时下降了4度,这时的气温应记作,晚间12时比下午6时又下降了5度,这时的气温应记作5. 用正数或负数表示下列数量：1珠穆朗玛峰高出海平面8848.13米；.2太平洋最深处低于海平面11022米6. 在有理数中,是整数而不是正数的是,是负数而不是分数的是7. 有7筐苹果,以每筐25千克为准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重的记录如下：+2,1,2,+1,+3,4,3这七筐苹果实际各重多少千克
8、？8. 计算集训= = 12= 3= = 4= = 5= = 2= 13= = 3= 36= 第二课 数轴、相反数与倒数知识要点1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.原点,正方向和单位长度是数轴的三要素,缺一不可.一条直线,上面任取一点作为原点表示0,右端画上箭头.从左向右为正方向,从右向左为负方向.取一定长度为单位长度,从原点向右起,一个单位长度表示1,两个单位长度表示2,以此类推；从原点向左起,一个单位长度表示-1,两个单位长度表示-2,以此类推.规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴三要素：原点,正方向,单位长度任何一个有理数,包括正数,负数,都可以在数轴上找到一
9、个一一对应的自己的位置.数轴上的数,越往右边越大,越往左边越小；正数中,越往右边越大；0比正数小,0比负数大；负数中,越往左边越小.PS补充：数轴上,除了有理数,还有无理数.例如.2、数轴的画法：画一条直线.在直线上选取一点为原点,并用这点表示零.确定正方向,用箭头表示出来.选取适当的长度为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3,；从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3,例1. 指出数轴上A. B. C. D各点所表示的数：例2. 画出数轴,把下列各组数分别在数轴上表示出来,并按从小到大顺序排列,用连接起来：11,-2,3,-4； 2 -,0
10、,-3,0.2.例3下列各数是否存在? 1 最小的正整数；2 最小的负整数；3 最大的负整数；4 最小的整数.例4文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20米处,玩具店位于书店东边100米处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了60米,此时小明的位置在 A. 文具店 B. 玩具店 C. 文具店西边40米 D. 玩具店东边60米3、数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示；反过来,不能说数轴上的点都表示有理数.正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示.4、利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数,
11、右边的数总比左边的数大；正数都大于0,负数都小于0,；正数大于一切负数.5、相反数从代数角度看,只有符号不同的两个数叫做互为相反数.从几何角度看,在数轴上的原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数称为相反数比如1和-1互为相反数,1是-1的相反数,-1是1的相反数.还有2和-2,-1.5和1.5,0.7和-0.7我们看到,一对相反数之间的差别只有一个负号.0的相反数是0.我们看到,1的相反数是-1,等于说,一个数的相反数就是在它前面加了一个负号.那么如果这个数原本就是负数呢？比如-5的相反数？ 负负得正： -=1 -=a 规定：0的相反数是0.一个数小于它的相反数,这个数是负数.一个数
12、不小于它的相反数,这个数是非负数.一个数大于它的相反数,这个数是正数.一个数不大于它的相反数,这个数是非正数.一个数的相反数等于它本身,这个数是0经典问题思维定势： 提问：-a是负数吗？ 回答：不一定,正0负都有可能专项训练符号的化简+3= +5= +a=-3= -5= -a=+-3= +-5= +-a=-3= -5= -a=-+3= -+5= -+a=+3= +5= +a=+-= +-= +-=-= -= -=-+= -+= -+=相反数到原点的距离相等；相反数的和为0；数轴上,距离原点相等的一正一负两个数互为相反数.也就是说,一个是另一个的相反数.例如：-8和+8距离0都是8个单位长度,所
13、以-8和+8互为相反数例1分别写出下列各数的相反数,在数轴上表示出来：-2.5,1,0,3,-.例2化简下列各数：1-； 2-；3+；4+； 5-； 例3若a与a-2互为相反数,则a的相反数是例4回答下列问题：1 什么数的相反数大于本身? 2 什么数的相反数等于本身? 3 什么数的相反数小于本身?例5若一个数的相反数不是正数,则这个数一定是 A正数 B正数或0 C负数 D负数或0例6化简：-2 +-+5 -6共n个负号6、判断互为相反数的两种方法：从算式中判断,若,则互为相反数；从直观上判断,是互为相反数.7、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数.PS补充正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,0没
14、有倒数,整数的倒数是分数.典型例题例1如下图所示,数轴中正确的是 B101A101C101D例2把下列各数在数轴上表示出来,并且从小到大用连接起来：2,0,1,.例3写出5,-3,0,-1.25各数的相反数和倒数,并把它们都在数轴上表示出来；例4已知A. B是数轴上的点1若点A表示3,以点A出发,沿数轴移动4个单位长度到达B点,则B点表示的数是.2若将点A向左移动3个单位长度,再向右移动5个单位长度,这时点A表示的数是0,那么点A原来表示的数是.例5化简下列各数：1 2 3 4例6数与生活李华的家记为A与他上学的学校记为B、体育馆记为C依次坐落在一条东西走向的大街上,李华家位于学校西边60米处
15、,体育馆位于学校东边50米处,李华从学校沿着这条大街向东走了30米,接着又向西走了90米到达D处试用数轴表示上述A、 B、 C、D的位置；课堂练习1. 下列图中为数轴是AB CD2. 下面说法正确的是A. -是-4的相反数B. -是-35的相反数C. -13的相反数是+D. +6的相反数是-3. 下列各对数中,互为相反数的有4. +与,+与-3,-与+,-与+,-与+,+3与A.3对 B.4对 C.5对 D.6对5. 下列说法正确的是A.-和0.25不是互为相反数； B.-a是负数；C.任何一个数都有它的相反数； D.正数与负数互为相反数.6. 下列说法正确的是 A 没有最大的正数,但有最大的
16、负数； B 没有最小的负数,但有最小的正数；C 有最大的负整数,也有最小的正整数； D 有最小的有理数是0.7. 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数_；8. 在数轴上表示数2的点与表示数-5的点之间的距离是_；9. -3.85的相反数是,7.6是的相反数,相反数是它本身的数的有；10. 用或号填空.3.50 -2.80 -0-4 11. 5=1 -3=1 0.25=112. =-= -= -=13. 数A. b在数轴上的位置如图,则b_a填或.14. 比5小的正整数有；比5大的负整数有15. 判断题1正数和负数是互为相反数. 2如果a是有理数,那么-a一定表示负有理数. 3互为相反数的
17、两个数一定不相等. 4一个数的相反数是它本身,这个数一定是零. 5数轴上所有的点都表示有理数. 6数轴上找不到既不表示正数也不表示负数的点. 16. 一个点从数轴上表示2的点开始,向右移动4个单位长度,再向左移动5个单位长度,说明这时这个点表示的数17. 数轴上与原点相距3个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？课后作业1. 下列说法正确的是A. 的相反数是5； B. -5是相反数； C. 和是相反数； D. 和是相反数.2. 若一个数的相反数是非负数,则这个数一定是A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数3. 数轴上与原点距离为3的点表示的是A. 3 B. 3 C. 3 D.
18、64. 下列说法正确的是 A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示； B. 数轴上的每一个点都表示一个整数；C. 规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴； D. 在同一数轴上,单位长度可以不统一.二解答题5. 指出数轴上A、 B、 C、 D、 E、O点各表示什么数-4-3-2-1012345CBAODE6. 画出数轴,把下列各组数分别在数轴上表示出来,并按从小到大顺序排列,用连接起来：11,-2,3,-4； 2 -,0,-3,0.27. 下列各数是否存在? 1 最小的正整数；2 最小的负整数；3 最大的负整数；4 最小的整数.8. 文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上,文具店在
19、书店西边20米处,玩具店位于书店东边200米处,小明从书店沿街向东走了140米,接着又向东走了160米,此时小明的位置在 A. 文具店 B. 玩具店 C. 文具店西边20米 D. 玩具店东边60米第三课 绝对值知识要点1、 绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离,数的绝对值记作,读作的绝对值.2、数a的绝对值的意义：几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离.数a的绝对值记作|a|.强调：表示0的点与原点的距离是0,所以|0|0.表示距离的数是非负数,所以绝对值是一个非负数.对于任意有理数a,|a|0代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它
20、的相反数；0的绝对值还是0.指出：绝对值的代数定义可以作为求一个数的绝对值的方法.a 0 正数的绝对值是它本身； a=0的绝对值是0 -aa 负数的绝对值是它的相反数. 1. 当a0时,a= a 2. 当a0时,a= 0 3. 当a0时,a= -a3、 有理数的大小比较：在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大由此,我们也可得到有理数大小比较的法则：.正数都大于0； .负数都小于0； .正数大于一切负数； .两个负数,绝对值大的其值反而小 典型例题例1求8,8,0的绝对值.例2利用数轴求下列各数的绝对值：-3、0、4、-0.5.例3画一条数轴,并在数轴上找出与原点距离为2、3、0的点.
21、例4比较下列每组数的大小：12和-2 ； 20和-； 3-1和-5； 4； 5和0.例5讨论一下a+a的值的情况；例6数在数轴上的位置如图,观察数轴,并回答： 1比较a和b的大小. 2比较|a|和|b|的大小. 3判断a+b,a-b,b-a,ab的符号. 4试化简-|a-b|+|b-a|.0课堂练习1. 0.618的符号是,绝对值是2. 绝对值是9的数是；绝对值是9的正数是3. 数轴上到原点的距离为5的数所表示的数是4. 绝对值是1的数是5. 用 、号填空： -8-6； 0-18； +0.010；6. 有理数中,绝对值最小的数是.7. 下列等式中,成立的是 ；A. B. C. D. 8. 下列
22、计算中,错误的是 ； A. B. C. D. 9. 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数必满足 ； A. 相等 B. 都是0 C. 互为相反数 D. 相等或互为相反数10. 3的相反数是 ；A. 3 B. 3 C. D. 11. 的相反数是 ；A B C D 12. a= a,a一定是 ；A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数13. 在有理数中,绝对值等于它本身的数有 ；A 1个 B 2个 C 3个 D 无数多个14. 下列结论中,正确的是； A.-a一定是负数 B.-a一定是非正数 C.a一定是正数 D.-a一定是负数15. 若有理数a、 b在数轴上对应点如右图所示,则下列错误的
23、是 ； A.b-a B.a-b C.ba D.ab16. 若a+b=0,则a与b大小关系一定是 ； A. a=b=0 B. a与b不相等 C. a. b互为相反数 D. a. b异号17. 若a,b是有理数,那么下列结论一定正确的是 ； A若ab,则ab,则ab C若a=b,则a=b； D若ab,则ab18. 下列各数中,互为相反数的是 ；A.和 B.和 C.和 D.和19. 一个数的绝对值是正数,这个数是 ；A不等于0的有理数, B. 正数, C. 任意有理数, D. 非负数20. 下列等式正确的是 ；A B C D 21. 判断题1如果两个数的绝对值相等,则这两个数相等 . 2如果一个数是
24、正数,则它的绝对值是它本身 . 3如果一个数的绝对值是它本身,这个数一定是正数 . 4一个有理数的绝对值一定不是负数 . 5互为相反数的两个数的绝对值相等 . 6绝对值等于它相反数的数一定是负数 . 22. 已知：,且,则的值等于多少？课后作业1. -的相反数是 ；A. B. C. D. 2. 若b=a,则a与b的大小关系为 ；A. a=b B. a=-b C. a=b D. 以上答案都不对3. 若a=,b=-3.14,c=-3.1415,则 ； Aabc B.bca C.cba D.bac4. |-2|+|2|= A. 0 B. 4 C. -4 D. 45. 下列说法正确的是 ；A. 是-的
25、相反数 B. a2+b2的意义是a与b的和的平方 C. |a|=-a D. -8-36. 若a=4,b=9,则a+b的值是 ； A 13 B 5 C 13或5 D 以上都不是二、填空题7. 3.14-=_8. -a=-a成立的条件是_9. x=3,则x=_,若a=5,则a=10. 绝对值等于5的数是,它们互为.11. 若x=-7,则x=_,若x-7=2,则x=_12. 绝对值小于4且大于2的整数有个,它们是 .13. 如果| a1 |0,则a；如果| a+1 |2,则a.14. 3的绝对值是,-3的绝对值是,绝对值是3的数有.15. 绝对值是它本身的数有,绝对值是它相反的数有.16. 绝对值小
26、于5的负整数有_ ；绝对值小于5的正整数有_；绝对值小于5的整数有_.17. 若a=a,则a是数；若a=-a,则a是数.18. 用、或填空:1|-|_|； 2-|-|_075；3-36_-36； 4+|-|_-|-|19. 已知x=2003,y=2002,且x0,y0,求x+y的值.第四课 有理数的加减法知识要点1、有理数的加法的运算法则：同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并把较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与零相加,仍得这个数.2、有理数的减法的运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.3、加法交换律与加法结合律：加法交换律：a+b=
27、b+a 加法结合律：+c=a+4、有理数加法与算术加法的区别：有理数加法不仅要进行绝对值的运算还要判断和的符号.其次,有理数的加法中,加数的符号可正可负,加法的结果也可正可负.因此,有理数加法中,和不小于每一个加数的结论不再成立.5、有理数加法中+号号的意义：1表示运算符号加号或减号； 2表示性质符号,一般单独的一个数前面的+或号表示性质符号.如4的表示负号.典型例题例1计算： +0； +； +； +5.例2计算： 9-5； 0-8； -3-1； -5-0.例3计算下列各式 -8+-9= 4+-7= -9+-8= -7+ 4 = 2+= 10+=2+ = 10+=例4计算：131+-28+28
28、+69; 2-873-72-37-22-17 4-16-12-24-185-4.3-+5.8+-3.2-3.5 6+例5.若用表示+10,用表示-10,用表示+1,用表示-1.则表示_;表示_.+=+_=课堂练习1. 下列说法中正确的是 ；A. 两个有理数相加,等于它们的绝对值相加；B. 两个负数相加取负号并把绝对值相减；C. 两个相反数相减,差为0； D. 两个负数相加,和一定为负数.2. 两数和为负数,那么这两数必定是 ；A. 同为正数 B. 同为负数 C. 一个为零一个为负数 D. 至少一个为负数,且负数绝对值大3. 下列说法正确的个数为；两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数.两个有
29、理数的和为负数时,这两个数都是负数.两个有理数的和可能等于其中一个加数.两个有理数之和可能等于零.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 下列各式中与的值不相等的是 ； A. B. C. D. 5. -8= 8-= 0+= -9+7=6. 一个加数是1.2的相反数,和为-2.5,另一个加数是 .7. 绝对值不小于3且小于5的所有整数之和为 .8. 在存折中有540元,取出180元,又存入370元,在存折中还有 元.9. 飞机飞行高度是2500米,上升200米又下降385米,这时飞机飞行的高度是 _米. 10. += += +=+= +=011. 绝对值不小于3但小于5的所有的整数的和是.1
30、2. 加法计算 2.3 + 3.1= +12+4= += +6.18= 4.23+= 13. 运算技巧1符号相同的先结合：7+ 11 + 3 +2 3 +5+ 12 +1+9 16 +25+ 24 +35 0.3+ 1.3 +0.6+3.1+ 0.25.60.94.48.1+1 2互为相反数的先结合：3小数分数互化：4拆带分数：5同分母归类：6前后相消：7简易方程法：14. 减法计算3 903 20357 5.273.81.20.50.734.442212.4 4543 15. 计算练习题：+268 8119课后作业1. -3+3=_. 若a, b是互为相反数,则a+b=_.2. 已知|a+3
31、|+|b-1|=0,则的相反数为_.123+0.7348+ 58+ 6+ 7+ + +10-17 +52+16+ 1212+-5-8+513 2053512140.532.75715163. 某储蓄所在某日内做了7件工作,取出950元,存入5000元,取出800元,存入12000元,取出10000元,取出2000元.问这个储蓄所这一天,共增加多少元？4. 出租车司机小李某下午的营运全是在东西走向的#路上进行的,如果规定向东行驶为正,他遮天下午行车的里程单位：千米如下：+8,-6,-5,+10,-5,+3,-2,+6,+2,-5.1小李下午出发地记为0,他将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出
32、发地有多远？如果汽车耗油量为0.11升每千米,那么这天下午汽车耗油多少升？5. 数轴上离开原点的距离小于2的整数点的个数为x,不大于2的整数点的个数为y,等于2的整数点的个数为z,求x+y+z的值第五课 有理数的乘除法知识要点1、有理数乘法法则：1两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；2任何数同0相乘都得0；3多个有理数相乘：a：只要有一个因数为0,则积为0 ；b：几个不为零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数,则积为负,当负因数的个数为偶数,则积为正.2、 乘法运算律：1乘法交换律：两个数相乘交换因数的位置,积不变,即；2乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,即 ；3乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于这个数分别同两个数相乘,再把积相加, 即或.3、有理数除法法则：1法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；2符号确定：两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除；30除以任何一个非零数,等于0；0不能作除数.典型例题例1计算下列各式：-45= -5
