3.52轴对称全章复习与巩固提高知识讲解.doc

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1、 .3.52轴对称全章复习与巩固（提高）学习目标1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质与它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以与判定方法.知识网络要点梳理要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这

2、条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉与两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的._如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性

3、质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：

4、有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三

5、角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.典型例题类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.答案C；解析先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数HEC与ABC关于CD对称；FDB与ABC关于BE对称；GED与ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身所以共3个总

6、结升华此题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：变式如图，ABC的部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点若ABC的角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480答案C；解：连接AP，BP，CP，D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P为MON一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数.思路点拨求周长最小，利用轴对称的性质，找

7、到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形角和定理和等腰三角形的性质计算.答案与解析解：分别作P关于OM、ON的对称点，连接交OM于A，ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280PAB, PBA180APB100总结升华将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：变式如图，在五边形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得AMN的周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A100 B11

8、0 C 120 D 130答案C；提示：找A点关于BC的对称点，关于ED的对称点，连接，交BC于M点，ED于N点，此时AMN周长最小. AMNANM180MAN，而2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图，ABC关于平行于轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，4），则这条平行于轴的直线是（）A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3思路点拨根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线答案C；解析解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，4）

9、AC6点A，C到该直线的距离都为3即可得直线为1总结升华此题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴举一反三：变式1如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB与Rt关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）答案D； 提示：因为RtAOB与Rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（2，1）变式2如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 答案解：满足条件的点D的坐标有

10、3个（4，1）；（1，1）；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、（2012）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_.点P到

11、AB边的距离PE=_.答案7；4或10；解析解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或10总结升华此题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键5、已

12、知，如图，112，236，348，424. 求的度数答案与解析ACD123B5E解：将沿AB翻折，得到，连结CE，则，1512.6048又236，72，BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30总结升华直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：变式在ABC中，ABAC，BAC80，D为形一点，且DABDBA10，求ACD的度数.答案解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DEABDACEADAE, DABEAC10BAC=80，DAE60，ADE为等边三角形AED60DABDBA10ADBDDEECA

13、EC160，DEC140DCE20ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、如下图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？ (2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由答案与解析解：(1)ENMF，点F在直线NE上 证明：连接DF，DE，ABC是等边三角形， ABACBC 又 D，E，F是ABC三边的中点， DE，DF，E

14、F为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60又MDNNDFMDF，NDFFDENDE，DMN为等边三角形，DMDN，MDN60MDFNDE 在DMF和DNE中，DMFDNE， MFNE，DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB，又EFAB，E、F、N在同一直线上. (2)成立证明：连结DE，DF，EF，ABC是等边三角形， ABACBC 又 D，E，F是ABC三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60 又MDFFDN60，NDEFDN60，MDFNDE 在DMF和DNE中，DMFDNE， MFNE总结升华此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角

15、形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路. 巩固练习一.选择题1. 如下图，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF的大小为( )A. 15 B. 30 C. 45 D. 603在以下说法中，正确的是（ ） A如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形； B如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；C等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图

16、形；D一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（ ）A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：215. 已知A（4，3）和B是坐标平面的两个点，且它们关于直线3轴对称，则平面点B的坐标是（ ）A.（1，3） B.（10，3） C.（4，3） D.（4，1）6如图，已知ABC中，ACBC24，AO、BO分别是角平分线，且MNBA，分别交AC于N、BC于M，则CMN的周长为（ ）A12 B24 C36 D不确定 A N O B M C （22题图）7. 如图，将沿、翻折，三个顶点均落在点处.若，则的度数为（ ）A. 49 B

17、. 50 C. 51 D. 528. 如图, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE2.AC的长为（ ） A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空题9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB2，点E在BC上，且AECE若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC10.在同一直角坐标系中，A（1，8）与B（5，3）关于轴对称，则_，_.11如下图，ABC中，已知B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，线段DE_12. 如下图，AOPBOP15，PCOA，PDOA，若PC4，PD的长为_13如

18、下图，在ABC中，ABAC，点O在ABC，且OBCOCA，BOC110，求A的度数为_14. 如图，在四边形ABCD中，A90，AD4，连接BD，BDCD，ADBC.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为.15. 如图，在ABC中，ABAC，D、E是ABC两点，AD平分BAC，EBCE60，若BE6，DE2，则BC_16. 如图，六边形ABCDEF的六个角都相等若AB1，BCCD3，DE2，则这个六边形的周长等于_。三.解答题17如下图，ABC中，D，E在BC上，且DEEC，过D作DFBA，交AE于点F，DFAC，求证AE平分BAC18. 如下图，等边三角形ABC中，AB2，点P是AB边上的

19、任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PEBC，垂足为E，过E作EFAC，垂足为F，过F作FQAQ，垂足为Q，设BP，AQ （1）写出与之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？19已知：如图，在ABC中，ABAC，BAC30点D为ABC一点，且DBDC，DCB30点E为BD延长线上一点，且AEAB（1）求ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DMDA，求证：MEDC20已知，BAC90，ABAC，D为AC边上的中点，ANBD于M，交BC于N.求证：ADBCDN答案与解析一.选择题1. 答案D；解析作出对称轴，将图形还原即可.2. 答案C； 解析由题意，ABE

20、DBEDBFFBC，所以EBFABC45，应选C3. 答案B；解析全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的C 选项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.4. 答案B；5. 答案B；解析点B的纵坐标和点A一样，（横坐标4）23，解得横坐标为10.6. 答案B；解析易证ANON，BMOM，CMN的周长等于ACBC24.7. 答案C； 解析ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 答案B； 解析连接AD，易证三角形ABD为等边三角形，CEDE1，AEDE2，所以ACAECE213.二.填空题9. 答案4；解析因为AECE，90，所以为AC的中点.AC2A

21、B4.10.答案； 解析由题意15，38，解得.11答案9；解析因为DEBC， 所以DFBFBC，EFCFCB， 因为FBCFBD，FCBFCE， 所以FBDDFB，FCEEFC， 所以BDDF，CEEF， 所以BDCEDFFEDE，所以DEBDCE912.答案2；解析过P作PEOB于E，所以PDPE，因为PCOA，所以BCPBOA30， 在RtPCE中，PEPC，所以PE42，因为PEPD，所以PD213答案40；解析ABAC，所以ABCACB， 又OBCOCA， ABCACB2（OBCOCB）， BOC110，OBCOCB70， ABCACB140，A180（ABCACB）4014.答案4

22、；解析过D作DPBC，此时DP长的最小值是.因为ABDCBD，所以ADDP4.15.答案8； 解析延长ED到BC于M，延长AD到BC与N，ABAC，AD平分BAC，ANBC，BNCN，EBCE60，BEM为等边三角形，BE6，DE2，DM4，NDM30，NM2，BN4，BC816.答案15；解析因为六边形ABCDEF的六个角都相等为120，每个外角都为60，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF，EF，则有1323328所以4，2，六边形ABCDEF的周长13322415.三.解答题17解析证明：延长FE到G，使EGEF，连接CG， 在DEF和CEG中， EDEC，DEFCEG

23、，FEEG，DEFCEG，DFGC，DFEG，DFAB，DFEBAE，DFAC，GCAC，GCAE，BAECAE，即AE平分BAC18解析解：（1）ABC为等边三角形，ABC60，ABBCCA2 在BEP中，PEBE，B60，BPE30， 而BP，BE，EC2， 在CFE中，C60，EFCF，FEC30，所以FC1x， 同理在FAQ中，可得AQ， 而AQ，所以（02） （2）当点P与点Q重合时，有AQBPAB2，2，所以 解得当BP的长为时，点P与点Q重合19解析解：（1）如图ABC中，ABAC，BAC30，ABCACB75DBDC，DCB30，DBCDCB301ABCDBC753045 ABAC，DBDC，AD所在直线垂直平分BCAD平分BAC2BAC15 ADE12 451560 证明：（2）连接AM，取BE的中点N，连接ANADM中，DMDA，ADE60，ADM为等边三角形 ABE中，ABAE，N为BE的中点，BNNE，且ANBEDNNM BNDN NENM，即 BDMEDBDC，MEDC 20.解析证明：作BAC的角平分线交BD于HBAHCAH45ABAC,ABCC45 BAHCANBD于M，AMD90NADADB90BAC90ABDADB90ABDNAC在ABH与CAN中ABHCANAHCND为AC边上的中点ADCD在AHD与CND中AHDCNDADBCDN7 / 7