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1、word向量的坐标表示与其运算【知识概要】1. 向量与其表示1向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如，表示由到的向量.为向量的起点，为向量的终点.向量 或的大小叫做向量的模，记作或.注： 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； 长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 例1 如下各量中不是向量的是 D 例2 如下说法中错误的答
2、案是 A B.零向量的长度为0例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 D B.一段圆弧2向量坐标的有关概念 根本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向一样的两个单位向量叫做根本单位，记为和. 将向量的起点置于坐标原点，作，如此叫做位置向量，如果点的坐标为，它在轴和轴上的投影分别为，如此向量的正交分解 在中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数后组成的和式，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对叫做向量的坐标，记为=.一般地，对于以点为起点，点为终点的向量，容易推得，于是相应地就可以把有序实数对叫
3、做的坐标，记作=.3向量的坐标运算：， 如此.4 向量的模：设，由两点间距离公式，可求得向量的模. 注： 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； 向量的模是个标量，并且是一个非负实数. 例4 点的坐标为，点的坐标为，且，求点的坐标. 解：点的坐标为或 .例5，求、的坐标. 解： 例6 设向量，化简：1；2.解：都为.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定0与任一向量平行.与为非零向量，假如，如此的充要条件是，所以，向量平行的充要条件可以表示为： 例7 向量，点，假如向量与平行，且，求向量的坐标. 解：的坐标为 或.3. 定比分
4、点公式 1定比分点公式和中点公式是直线l上的两点，是l上不同于的任一点，存在实数，使=，叫做点分所成的比，有三种情况：(内分)0(外分) -1 (外分)-10、是直线上任一点，且=.是直线上的一点，令，如此，这个公式叫做线段的定比分点公式，特别地时，为线段的中点，此时，叫做线段的中点公式. 注：可得；当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在 2三角形重心坐标公式设的三个点的坐标分别为，为的重心，如此例8 在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标. 解：当在上时，；当在延长线上，.例9，是直线上一点，假如，求点的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得.*方法提炼*
5、几个重要结论1. 假如为不共线向量，如此，为以为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. ；3. 为的重心【根底夯实】1.判断如下命题是否正确，假如不正确，请简述理由.向量与是共线向量，如此A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，假如起点不同，如此终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.与共线，虽起点不同，但其
6、终点却一样.评述：此题考查根本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征与相互关系必须把握好.2.如下命题正确的答案是 C A.与共线，与共线，如此与c也共线与不共线，如此与都是非零向量3.在如下结论中,正确的结论为 D (1)ab且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)ab且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向一样且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|b|是ab的充分不必要条件A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)4. 点A分有向线段的比为2，如此在如下结论中错误的答案是 D A
7、. 点C分的比是-B.点C分的比是-3C 点C分的比是- D 点A分的比是25.两点、，点分有向线段所成的比为，如此、的值为 C A ， B.，C ， D ，6.ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，假如AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，如此顶点C的坐标是 A A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3)7. “两个向量共线是“这两个向量方向相反的条件. 答案：必要非充分8.a、b是两非零向量,且a与b不共线,假如非零向量c与a共线,如此c与b必定. 答案：不共线9.点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 答案：2或1
8、0.ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，如此C点坐标为 答案：(8,-4)11. M为ABC边AB上的一点，且，如此M分所成的比为 答案：【巩固提高】12.点、，线段上的三等分点依次为、，求、点的坐标以与分所成的比解：P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比1、2分别为-,-2 13. 过、的直线与一次函数的图象交于点，求分所成的比值 解：14. 平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：，15. 设是所在平面内的一点，,如此 B (A). (B).(C). (D).16. 假如平面向量满足平行于轴，如此.17在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点假如(4,3)，(1,5)，如此等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)解析：选A.22()(6,4)，(2,7)，3(6,21)18. O为坐标原点，向量假如A,B,C三点共线，且，某某数的值19. 点A(3，0),B(-1，-6), P是直线AB上一点，且，求点P的坐标.20. 向量和，且，求的值。8 / 8
