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1、 期末复习题一、填空题1、 .2、若在上连续, 则 .3、已知是的原函数，则等于 .4、若是的一个原函数，则 .5、 .6、已知，则在上的平均值为 .7、设且连续， 则 .8、设曲线()与直线及y轴围成的图形面积为，则 .9、设，则 .10、设，则.11、交换积分次序 .12、交换积分次序 .13、交换积分次序. 二、选择题1、极限等于（ ）（A）1（B）2（C）4（D）82、设，则（ ）(A) (B) (C) (D) 3、设是连续函数，且，则必有（ ）B（A） （B）（C） （D）4、设在上连续，则在上的平均值是（ ）（A） （B）（C） （D）5、积分与（ ）有关。（A）（B）（C）（D）
2、s6、下列方程中变量可分离的是 ( )（A）（B）（C） （D）7、( ) 是微分方程满足条件的特解。（A）（B）（C）（D）三、计算题1、计算下列不定积分：(1) (2) (3)(4)(5) (6)2、计算下列定积分：(1) (2) (3)(4)(5)(6)(7) (8)3、设，求.4、设,求。5、设是由方程确定的隐函数，求。6、设，求。7、，求。8、已知 ，求，。9、求函数的极值。10、计算二重积分，其中。11、计算二重积分，其中D是以为顶点的三角形区域。12、计算.13、计算 .14、计算。15、求微分方程满足初始条件的特解：，.16、求微分方程 的通解。17、求方程的通解。18、求微分
3、方程的通解。19、求解微分方程 ，.四、应用题1、求与所围成的图形的面积及它绕轴旋转而成的旋转体体积。2、求与所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。3、过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为。(1) 求点A的坐标；(2) 求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和y时，销售利润的增加是（万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本，需求函数分别为，(为产品单价)，且产品需求要受限制
4、 求工厂获最大利润时的产量和单价。6、设某企业的总产量函数为（吨），为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求使产量最大。7、生产某种产品需要三种原料，且产量与原料的用量的关系为，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？五、证明题1、设在上连续,证明：。2、设在上连续,证明：。3、证明 .解答：一、填空题1. 1 2. -2f(2x) 3. 4. 5. ln2 6. 7. 8. 9. 8 10、 11. 12. 13、二、选择题1. C 2. B3、解选B利用变上限积分函数的导数，结合，得(A
5、) , (C) , (D) ,故选(B).4、解选C若函数在上连续，则称为在上的平均值，故选(C).5、解选D设，则，于是 ，故积分I与s有关. 应选(D).6、解 选 由于可写成，故应选(B).7、解 选将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 ， 代入初始条件，得，所求特解为 。三、计算题1、计算下列不定积分：(1) 解 令，则，于是.(2) 解.(3) 解(4) 解令，(5) 解令，(6) 解2、计算下列定积分：(1)解：解得 .(2) 解：原式.(3) 解：令，则原式(4) 解：令，则(5) 解：令，则原式(6) 解 令，则 (7) 解 设，原式(8) 解 令，原式。3、解4、解设，.5
6、、解 ；同理，。6、解， 。7、解：， 8、解：方程两边关于x求偏导，方程两边关于y求偏导，。9、解 ，求得驻点，所以为极小值点，极小值为10、解 原式。11、解 。12、解 交换积分次序，13、解 交换积分次序，原式。14、解 交换积分次序，原式。15、解 分离变量，积分得 ，将代入，得 ，所求特解为 .16、解 方程改写为（1分）（3分）17、解 原方程为，18、解，19、解 原方程改写为 ，通解为，将代入，得，故所求特解为。四、应用题1、解，2、解，3、解（1），则切线的斜率，切线方程：切线与x轴交点为，S，解得，.（2）切线方程：，4、解：目标函数为 ，约束条件 令 ，解得唯一驻点 由实际意义，此时利润的增加最大5、解：目标函数为 ，约束条件 令 ，解得唯一驻点 ，此时价格由实际意义，此时利润最大6、解:，得，唯一，由实际问题存在产量最大，即当时产量最大。7、解 目标函数 ，约束条件，, （3分）令 ，解得唯一驻点，由实际问题，此时产量最大。五、证明题1、证明：而故2、见教材P22例11(2)3、证明 9 / 9
