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1、word1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列与其加权和表示题1图所示的序列。解：2. 给定信号：1画出序列的波形，标上各序列的值；2试用延迟单位脉冲序列与其加权和表示序列；3令，试画出波形；4令，试画出波形；5令，试画出波形。解：1x(n)的波形如题2解图一所示。23的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图二所示。4的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图三所示。5画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图四所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，假如是周期的，确定其周期。1，A是常数；2。解：1，这是有理数，因此是周期序列，周
2、期是T=14；2，这是无理数，因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。1；3，为整常数；5；7。解：1令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。3这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。5 令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。7 令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。1；3；5。解
3、：1只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，如此，因此系统是稳定系统。3如果，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.5系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，如此，因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。解：解法1:采用图解法图解法的过程如题7解图所示。解法2:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:因为 所以 将x(n)的表达式代入上式，得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。1；2；3。解
4、：1 先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：根据非零区间，将n分成四种情况求解：最后结果为y(n)的波形如题8解图一所示。2y(n)的波形如题8解图二所示.3y(n)对于m的非零区间为。最后写成统一表达式：11. 设系统由下面差分方程描述：；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：归纳起来，结果为12. 有一连续信号式中，1求出的周期。2用采样间隔对进展采样，试写出采样信号的表达式。3画出对应的时域离散信号(序列) 的波形，并求出的周期。第二章教材第二章习题解答1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：1；2；3；4。解：1令，如此23令，如此4证明： 令
5、k=n-m，如此求的傅里叶反变换。解：3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。解：假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率一样，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，将以4为周期进展周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。,以4为周期，或者,以4为周期的FT用表示，不直接求出，完成如下运算：1；2；5解：1256.试求如下序列的傅里叶变换:2；
6、3解：237.设:1是实偶函数，2是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。解：令1x(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是w的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。2x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么因此这说明是纯虚数，且是w的奇函数。是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: 求序列与其傅里叶变换。解：，输入序列为，完成下面各题：1求出系
7、统输出序列；2分别求出、和的傅里叶变换。解：12，式中，以采样频率对进展采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：1写出的傅里叶变换表示式；2写出和的表达式；3分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。解：1上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：23式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14.求以下序列的Z变换与收敛域：2；3；6解：23616.:求出对应的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。
8、1当收敛域时，令，因为c内无极点，x(n)=0；，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么2当收敛域时，C内有极点0.5；，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到3当收敛域时，C内有极点0.5，2；n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。最后得到，分别求：1的Z变换；2的Z变换；3的z变换。解：123，分别求：1收敛域对应的原序列；2收敛域对应的原序列。解：1当收敛域时，内有极点0
9、.5，,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,最后得到2当收敛域时，c内有极点0.5,2, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到25. 网络的输入和单位脉冲响应分别为，试：1用卷积法求网络输出；2用ZT法求网络输出。解：1用卷积法求，,，最后得到2用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列与其傅里叶变换。解：求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。时，c内有极点,n=0时，c内有极点,0，所
10、以又因为所以3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为2；4；6；8；10。解：2468解法1 直接计算解法2 由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果一样。此题验证了共轭对称性。10解法1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为所以等式两边进展DFT得到故当时，可直接计算得出X0这样，Xk可写成如下形式：解法2 时，时，所以，即，求1;2解：123.长度为N=10的两个有限长序列作图表示、和。解：、和分别如题3解图a、b、c所示。和的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？解：如前所示，记，
11、而。长度为27，长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：1最小记录时间；2最大取样间隔；3最少采样点数；4在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解：1234频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍F变为原来的1/218. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进展滤波处理，要求采用重叠保存法通过DFT来实现。所谓重叠保存法，就是对输入序列进展分段此题设每段长度为M=100个采样点
12、，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点此题取L=128循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。1求V；2求B；3确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解：为了便于表示，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点共49个点不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点共51个点为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不连续又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。下面说明，对128点的循环卷
13、积，上述结果也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域， ，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取中第4999点作为滤波输出。5.2 教材第五章习题解答1. 设系统用下面的差分方程描述：，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：将上式进展Z变换1按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图一所示。2将的分母进展因式分解按照上式可以有两种级联型结构：(a) 画出级联型结构如题1解图二a所示(b) 画出级联型结构如题1解图二b所示3将进展局部分
14、式展开根据上式画出并联型结构如题1解图三所示。2. 设数字滤波器的差分方程为，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进展Z变换，得到1按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图一所示。2将的分子和分母进展因式分解：按照上式可以有两种级联型结构：(a) 画出级联型结构如题2解图二a所示。(b) 画出级联型结构如题2解图二b所示。3. 设系统的系统函数为，试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。1 ，画出级联型结构如题3解图a所示。2 ,画出级联型结构如题3解图b所示。4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应
15、分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d解：(d) 5.写出图中流图的系统函数与差分方程。图d解：(d) 6.写出图中流图的系统函数。图f解：(f) 8FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解：频率采样结构的公式为式中，N=5它的频率采样结构如题8解图所示。6.2 教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以与实际的。解：1求阶数N。将和值代入N的计算公式得所以取N=5实际应用中，根据具体要求，也可
16、能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。2求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或 当然，也可以按6.12式计算出极点:按6.11式写出表达式代入值并进展分母展开得到与查表一样的结果。3去归一化即LP-LP频率变换，由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。由于此题中，即，因此对分母因式形式，如此有如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的。解：1
17、确定滤波器技术指标：，2求阶数N和：为了满足指标要求，取N=4。2求归一化系统函数其中，极点由(6.2.38)式求出如下：3将去归一化，求得实际滤波器系统函数其中，因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。4. 模拟滤波器的传输函数为：(1)；(2)。式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。解：该题所给正是模拟滤波器二阶根本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。1的极点为：，将局部分式展开用待定系数法：比拟分子各项系数可知：A、
18、B应满足方程：解之得所以按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶根本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。2 的极点为：，将局部分式展开：通分并化简整理得5. 模拟滤波器的传输函数为：1；2试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。解：1用脉冲响应不变法方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：，代入T=2s方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对的分母配方，将化成4题中的标准形式：为一常数，由于所以比照可知，套用公式得或通分合并两项得2用双线性变换法7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。1 (低通)；2高通；3除0或外的某一频率带通。解：按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为2。36 / 36
