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1、 第二章 角平分线模型的构造技巧提炼:与角平分线有关的常用辅助线作业,即角平分线的四大根本模型。P是MON平分线上一点,(1) 假设PAOM于点A,如图a,可以过P点作PBON于点B,那么PB=PA。可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线。(2) 假设点A是射线OM上任意一点,如图b,可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造OPBOPA。可记为“图中有角平分线,可以将图形对折看,对称以后关系现。(3) 假设APOP于点P,如图c,可延长AP交ON于点B,构造AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看。(4) 假设过P点作PQON交OM于点Q,如图d,可以构
2、造POQ是等腰三角形,可记为“角平分线+平行线,等腰三角形必呈现。例题精讲例1 1如图a,在ABC中,C=90,AD平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是cm。 2如图b,:1=2,3=4,求证:AP平分BAC。例2 如图a在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F, 1求证:CE=CF。 2将图a中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置,使点E落在BC边上,其他条件不变,如图b,试猜测:BE与CF有怎样的数量有关系?请证明你的结论。例3 阅读以下学习材料:如图a,OP平分MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接A
3、C,在射线ON上截取OB=OA,连接BC,易证AOCOBC。请根据上面的学习材料,解答以下各题:(1) 如图c,在ABC中,AD中BAC的外角平分线,P是AD上异于A点的任意一点,试比拟PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由。(2) 如图d,AD中BAC的角平分线,其他条件不变,试比拟PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。例4 如图,等腰直角ABC中,A=90,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,垂足为点E,求证:BD=2CE。例5 1如图a,BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作ADBD、AECE,垂足分别为D、E,连接DE,求证DEBC,DE=;(2) 如图b,BD、CE分别
4、是ABC的角平分线,其他条件不变;(3) 如图c,BD为ABC的角平分线,CE为ABC的外角平分线,其他条件不变,那么在图b,图c两种情况下,DE与BC还平行吗?它与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中的一种情况进展证明。变式练习:如图,在ABC中,AB=3AC,BAC的平分线交BC于点D,过点B作BEAD,垂足为E,求证:AD=DE。例6 如图a,AB=AC,BD、CD分别平分ABC、ACB,问:(1) 图a中有几个等腰三角形?(2) 过点D点作EFBC,如图b,交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?(3) 如图c,假设将题中的ABC改为不等边三角形,其他
5、条件不变,图中有几个等腰三角形?直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?(4) 如图d,BD平分ABC,CD平分外角ACG,DEBC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么关系?并说明理由。(5) 如图e,BD、CD为外角CBM、BCN的平分线,DEBC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?例7 如图,在ABC中,AC=BC,C=90,AD平分CAB,求证:AB=AC+CD。变式练习:1、ABC中,AC=AC,A=108,BD平分ABC,求证:BC=AB+CD。2、ABC中,AC=AC,A=100,BD平分ABC,求证:BC=BD+AD。
6、例8 如图a,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法,解答以下问题:(1) 如图b,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F,请你判断写出FE与FD之间的数量关系;(2) 如图c,在ABC中,ACB不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得出结论是否依然成立?假设成立请证明,假设不成立,请说明理由。牛刀小试1、 1如图a,在ABC中,ABC与ACB的角平分线相交于点F,过点F作DEBC,交AB于点D,交AC于点E,假设BD+CE=9,那么线段DE之长为。(2)
7、 如图b,在ABC中,BD、CD分别平分ABC和ACB,DEAB,FDAC,如果BC=6,求DEF的周长。2、:BAD=CAD,ABAC,CDAD于点D,H是BC的中点。求证:。3、:四边形ABCD中,B+D=180,BC=CD。求证:AC平分BAD。4、 ABC的外角ACD的平分线CP与角ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,假设BPC=40,求CAP的度数。5、在四边形中,BCAB,AD=CD,BD平分ABC,求证:A+C=180。6、 如图a,BP平分MBN,点D在射线BP上,ADC的两边分别交射线BM、BN于A、C两点,且ADC+MBN=180。(1) 猜测AD与DC之间的数量关
8、系,直接写出你的结论。(2) 图b是ADC绕点D旋转一定角度得到的,1中的结论是否成立?假设成立,请证明;假设不成立,说明理由。 a b7、 1如图a,在RtABC中,C=90,B=45,AD是ABC的角平分线,那么AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为。(2) 如图b,假设将1中条件“在RtABC中,C=90,B=45改为“在ABC中,C=2B请问1中的结论是否仍然成立?证明你的猜测。8、在平行四边形ABCD中,BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。1在图a中证明CE=CF;2假设ABC=90,G是EF的中点(如图b),直接写出BDG的度数;3假设ABC=120,FGCE,FG=CE,分别连接DB、DG如图c,求BDG的度数。9、 ,在ODC中,D=90,EC是DCO的角平分线,且OECE,过点E作EFOC交OC于点F,猜测:线段EF与OD之间的数量关系,并证明。10、在四边形ABDE中,C是BD边的中点。1如图a,假设AC平分BAE,ACE=90,那么线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为;直接写出答案2如图b,AC平分BAE,EC平分AED,假设ACE=120,那么线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;3如图c,BD=8,AB=2,DE=8,ACE=135,那么线段AE长度的最大值是。直接写出答案 a b c7 / 7