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1、-专题21 弧度制及任意角的三角函数专题知识梳理1角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，则也把它看成一个角，叫作零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为*轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|k360，kZ2弧度制 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|
2、，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径 弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度 弧长公式：l|r扇形面积公式：S扇形lr|r23任意角的三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(*，y)，它与原点的距离是|OP|r，一般地，我们规定：比值 叫做的正弦，记作sin，即sin；比值 叫做的余弦，记作cos，即cos；比值(*0)叫做的正切，记作tan，即tan(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)特殊角的三角函数值角030456090120135150180270
3、弧度数0sin001cos1010tan0110(3)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示的正弦线，的余弦线和的正切线三角函数线考点探究考向1角的表示【例】 (1)已知2 019，则与角终边相同的最小正角为_，最大负角为_(2) 如果角是第三象限角，则，角的终边落在第几象限.是第几象限的角.并判断tansincos的符号；2的终边在什么位置.【解析】（1）可以写成6360141的形式，则与终边相同的角可以写成k360141(kZ)的形式当k0时，可得与角终边相同的最小正角为141，当k1时，可得最大负角为219（2）2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，即2k2k(kZ)角终边落在第
4、二象限又由各边都加上，得2k22k(kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角由2k2k(kZ)，可知kk(kZ)，24k20，即m2.设是第二象限角，P(*,4)为其终边上的一点，且cos *，则tan _【解析】因为是第二象限角，所以cos *0，即*0，sin2*，sin *利用三角函数线画出*满足条件的终边*围(如图阴影部分所示)，*(kZ)2.函数y的定义域为_【解析】利用三角函数线(如图)，由sin *，可知2k*2k，kZ3.（拔高题）函数ylg(2sin *1)的定义域为_【解析】要使原函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 (kZ)
5、考向4扇形的基本运算【例】扇形AOB的周长为8 cm(1) 若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1) 由题意可得解得或或6(2) 2rl8， S扇lrl2r4，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值， r2， 弦长AB22sin 14sin 1题组训练1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是_；扇形的圆心角所对的弦长为_cm【解析】设此扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S
6、最大，这时l42r2 cm从而2扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm2.如图，已知扇形AOB的圆心角为120，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积【解析】扇形的弧长l=|r=6=4(cm)因为S扇形AOB=lr=46=12(cm2)，SAOB=r2sin120=9(cm2)，所以S弓形=S扇形AOB-SAOB=(12-9)cm23. (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大.【解析】(1)设圆心角是，半径是r，则解得(舍去)或扇形的圆心角为(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100当且仅当r10时，Sma*100，此时2101040，2，当r10，2时，扇形的面积最大. z.
