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1、23. 协方差分析一原理一、根本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，那么有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量一般是连续变量。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识根底的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面
2、单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量控制变量，又包含了定量变量协变量。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进展方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线根本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。二、协方差分析需要满足的条件1自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；2
3、协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数即各回归线的斜率是一样的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否那么，就有可能犯第一类错误，即错误地承受虚无假设；3 自变量与协变量相互独立，假设协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；4各样本来自具有一样方差2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。三、根本理论1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即1其中，为所有协变量的平均值。注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，
4、在协方差分析中需要别离出来。用协变量进展修正，得到修正后的yij(adj)为就可以对yij(adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数. 2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差，1计算总离差平方和时，记总离差平方和：最终要检验分组自变量对因变量有无显著作用。原假设H0：无显著作用。假设检验是在H0为真条件下进展，可认为ti=0，那么按最小二乘法原理线性回归可得到的估计值记修正的总离差平方和残差平方和为Tyy(adj)，那么，自由度为n-2注：为回归平方和，假设回归线为水平线，表示协变量x对y无作用，用方差分析就可以解决了。2计算组离差平方和时，记组总离差平方和：根据协方差分析的根本
5、假设：各组回归系数相等做协方差分析时需要检验这一点，得到组回归系数w的估计值记修正的组总离差平方和组残差平方和为Eyy(adj), 那么， 自由度为n-k-1其中，为组回归平方和，当时，组总离差平方和认为完全是由随机因素引起的，Eyy(adj)就是随机为误差。这里的是的加权平均值。3计算分组变量离差平方和Byy(adj)，它反映的是各个水平之间的差异。即，分组变量离差=总离差-协变量离差-随机误差。于是，就可以进展组间无差异检验了：3. 因此，在做协方差分析前，需要依次做两个假设检验：1协变量对因变量的影响对与各组来说都是一样的，即各组回归系数相等：;步骤： 先按回归系数相等和不相等分别表示模
6、型并计算出误差平方和其中，. 计算F值假设F值小于临界值F，那么说明各组回归系数无显著差异相等。2这些相等的回归系数.即采用一元线性回归的显著性检验，4. 协方差分析的步骤1检验数据是否满足假设条件：正态分布性、方差齐性、线性相关性、平行性；2检验效应因子的显著性；3估计校正的组均值；4检验校正的组均值之间的差异。二实例研究分别承受了3种不同的教学方法的3组学生，在数学成绩上是否有显著差异。数据文件入下：先不考虑数学入学成绩，只以“教学方法为分组变量，“后测成绩为因变量进展单因素方差分析，得到结果：描述后测成绩N均值标准差标准误均值的 95% 置信区间极小值极大值下限上限标准方法4662.62
7、8.1491.20260.2065.044578新方法4970.999.5041.35868.2673.725092总数9566.949.7771.00364.9568.934592单因素方差分析后测成绩平方和df均方F显著性组间1662.28411662.28421.108.000组7323.8379378.751总数8986.12194P值0.05，承受原假设，即交互作用无统计学意义。因此，可认为两组斜率一样，符合协方差分析的假定。3. 协方差分析1同2.的1；2点【模型】，打开“模型子窗口，【指定模型】选“全因子；注：【全因子】表示模型包含全部因素变量和协变量的主效应、因素变量间的交互效
8、应，但不包括与协变量的交互效应。本例中只有1个因素变量和1个协变量，没有交互效应，计算结果只会有主效应。3点【选项】，打开“选项子窗口，将“教学方法选入【显示均值】框，将输出不同教学方法的后测成绩调整后考虑了协变量效应之后的边缘平均值；勾选“比拟主效应，【置信区间调节】选“LSD无，表示对“教学方法各组的后测成绩平均值进展组间比拟；【输出】选项，勾选“描述统计、“误差方差齐性检验、“残差图；点【继续】；点【确定】得到描述性统计量因变量: 后测成绩教学方法均值标准偏差N标准方法62.628.14946新方法70.999.50449总计66.949.77795误差方差等同性的 Levene 检验a
9、因变量: 后测成绩Fdf1df2Sig.652193.422检验零假设，即在所有组中因变量的误差方差均相等。a. 设计 : 截距 + 前测成绩 + 教学方法各组因变量误差的方差齐性检验P值=0.4220.05, 故承受原假设，即各组因变量误差的方差一样。这说明下面的方差分析结果是有效的。主体间效应的检验因变量: 后测成绩源III 型平方和df均方FSig.校正模型2748.231a21374.11520.266.000截距10584.208110584.208156.102.000前测成绩1085.94711085.94716.016.000教学方法316.2731316.2734.665.0
10、33误差6237.8909267.803总计434637.50095校正的总计8986.12194a. R 方 = .306调整 R 方 = .291考虑了协变量“前测成绩之后的方差分析结果，前测成绩的P值0.001, 说明“前测成绩对“后测成绩产生了显著影响；“教学方法的P值=0.0330.05, 说明“教学方法对“后测成绩也产生了显著的影响。注1：如果有多个教学方法的分组，要进一步判断各分组的差异，可查看后面结果中的“成比照拟结果。注2：与不考虑协变量的单因素方差分析模型做比照：单因素方差分析后测成绩平方和df均方F显著性组间1662.28411662.28421.108.000组7323
11、.8379378.751总数8986.12194发现教学方法的显著性比原来小了；需要总方差都是8986.121，单因素方差分析模型的组间差异解释了1662.284, 而考虑了协变量的协方差分析模型解释的方差增大到2748.231，这说明协方差分析模型能更准确地检验因素变量对因变量的作用。估算边际均值教学方法估计因变量: 后测成绩教学方法均值标准误差95% 置信区间下限上限标准方法64.735a1.32462.10567.365新方法69.004a1.27766.46971.540a. 模型中出现的协变量在以下值处进展评估: 前测成绩 = 57.92. 给出了去除协变量“前测成绩的影响之后，两种
12、教学方法的平均成绩分别为：64.735和69.004成比照拟因变量: 后测成绩(I) 教学方法(J) 教学方法均值差值 (I-J)标准误差Sig.b差分的 95% 置信区间b下限上限标准方法新方法-4.269*1.977.033-8.195-.343新方法标准方法4.269*1.977.033.3438.195基于估算边际均值*. 均值差值在 .05 级别上较显著。b. 对多个比拟的调整：最不显著差异相当于未作调整。 成比照拟的P值=0.0330.05, 故拒绝原假设，即新教学方法与标准教学法有显著差异新教学方法显著好于标准方法。单变量检验因变量: 后测成绩平方和df均方FSig.比照316.2731316.2734.665.033误差6237.8909267.803F 检验教学方法的效应。该检验基于估算边际均值间的线性独立成比照拟。 对修正的均值按方差分析法进展检验，结果与前面是一致的。 残差图，标准残差是正态分布随机性。15 / 15
