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1、 辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从出发作出辅助线：DABCEFMN例1：在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：1过D点作DNCA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证AEFDEN，那么有AF=DN，进而有AF=2过D点作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，那么有AF=方法二：分析结论，作出辅助线ABD
2、CE 例2：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABAC=AEAD分析：要证ABAC=AEAD，需证或，需证ABEADC或ABDAEC，这就需要连结BE或CE，形成所需要的三角形，同时得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C或B=E因而得证。方法三：“两头凑即同时分析和结论作出辅助线ABCDEFM例3：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB与中线AD分别交于点F和E；求证：AEED=2AFFB分析：D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；假设要出现结论中的AEED，那么应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DMEF交AB于M，可得，再证BF
3、=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆局部就有许多规律性辅助线：1有弦，作“垂直于弦的直径ABCDEO例4：，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OEAB于E，那么AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BDABCDE12O2有直径，构成直径上的圆周角直角例5：如图，以ABC的AC边为直径，作O交BC、BA于D、E两点，且，求证：B=C 分析：连结AD，由于AC为直径，那么有ADBC，又，有1=2，由角和定理得B=C3见切线，连半径，证垂直ABCDO123例6：如图，AB为O
4、的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB分析：连结OC，由于CD为切线，可知OCCD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，那么可得AC平分DAB4证切线时，“连半径，证垂直或“作垂直，证半径例7：，直线AB经过O上的一点，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求证：直线AB是O的切线分析：连结OC，要证AB是O的切线，需证OCAB，由可证OACOBC，可得OCA=OCB=900，结论得证。例8：，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，ABCDOE求证：AD是O的切线分析：过O点作OEAD，垂足为E，要证AD是O的切线，
5、只要证OE是O的半径即可，也就是说需要证OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在O上，AD是O的切线。二练习1、： 如图，在ABC中，ADDB，AEEC求证： DEBC，DEBCABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求证： EFBC，EFADBCABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分。4、如图：AB为O的直径，弦CDAB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种根本图形与根本性质
6、，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为根本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径例1.如图，以RtABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的A分别交BC、AC于点D、E, 假设BD=10cm，DC=6cm，求A的半径。解：过A作AHBD于H，那么。BAAC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如图，AB是O的直径,POAB交O于点P，弦PN与AB相交于点M，求
7、证：。证明：过O作OCNP于点C，那么。OCNP，POAB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPMCPO，即。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距即垂直于弦的直径或半径，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角在半圆中，同样可作直径所对的圆周角例3.如图，AB为半圆的直径，OHAC于H，BH与OC交于E，假设BH=12，求BE的长。解：连结BC。 AB为直径， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC，OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆
8、上的一点, CDAB于D, 求证:。证明：连结AC、BC。AB为直径，ACB=90，1+2=90。又CDAB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCDCAD，即。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进展解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径假设无切点，那么过圆心作切线的垂线例5.如图，MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，假设PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又
9、AP切O于点P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例6.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形假设题中有三角函数但无直角三角形，那么也需作直径构造直角三角形例7.如图, 点A、B、C在O上AC不过O点，假设ACB=60,AB=6，求O半径的长。解：作直径AD
10、，连结BD。ACB与D都是所对的圆周角，D=ACB=60。又AD是直径，ABD=90，。例8.如图，在锐角ABC中，假设BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圆半径为R，求证：。证明：作直径CD，连结BD。CD为直径，CBD=90，。又A=D，即，同理可得，。评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30、45、60、90等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线或者作两圆的连心线例9.如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC。证明：过点A作O1与O2的公切线AM交BC于点M。MA和MB分别切O1
11、于点A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，ABAC。例10.如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，假设A与B的半径分别为r和3r,求：CD的长；B的度数。解：连结AB，连结AC、BD，过点A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD。又AEBD，四边形ACDE为矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60。评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的
12、半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和或差等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦或者作两圆的连心线例11.如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。证明：连结AB。 AD为O1的直径，ABD=90，D+BAD=90。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90，CO1AD。例12.如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求O1AO2的度数。解：连结AB、O1O2，使之交于H点。AB为O1与O2的公共弦，连心线O1O2垂直平分AB，O1A
13、H=45，O2AH=30，O1AO2=O1AH+O2AH=75。评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线那么垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 如图1-1：D、E为ABC两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：法一将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N， 法二：图1-2 延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G，二、 在利用三角形
14、的外角大于任何和它不相邻的角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：D为ABC的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在角的位置；证法一：延长BD交AC于点E证法二：连接AD，并廷长交BC于F注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的角位置上，再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等
15、的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：AD为ABC的中线，且1=2,3=4,求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，那么DN=DC，注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，
16、且1=2，3=4，求证：BE+CFEF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。注意：当涉与到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE
17、，CE常延长中线加倍，构造全等三角形练习：ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 六、 截长补短法作辅助线。例如：如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 分析：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再连接PN，那么PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。证明：截长法 在AB上截取AN=AC连接PN证明：补短法 延长
18、AC至M，使AM=AB，连接PM，七、 延长边构造三角形：例如：如图7-1：AC=BD，ADAC于A ，BCBD于B， 求证：AD=BC分析：欲证 AD=BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC， 但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，当条件缺乏时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们
19、只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC或BD 九、 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的延长于E 。求证：BD=2CE 分析：要证BD=2CE，想到要构造线段2CE， 同时CE与ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于F。十、 连接点，构造全等三角形。例如：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：A=D。分析：要证A=D，可证它们所在的三角形ABD和DCO全等，而只有AB=DC和对顶角 两个条件，差一个条件，难以证其全等，只
20、有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，那么ABD和DCO全等，所以，证得A=D。证明：连接BC 在ABC和DCB中十一、 取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB=DC，A=D 求证：ABC=DCB。分析：由AB=DC，A=D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BN=CN，ABN=DCN。下面只需证NBC=NCB，再取BC的中点M，连接MN，那么由SSS公理有NBMNCM，所以NBC=NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。梯形问题中的辅助线1、连结对角线例1如图1，梯形ABCD中，ABCD，
21、ADBC，延长AB到E，使BECD，试说明ACCE.解：如图1，连结BD，由BDCE可证得BDCE，由等腰梯形ABCD性质得ACBD，所以ACCE.2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 例2如图2，梯形ADCB中，ABCD，AB2cm，CD8cm，AD4cm，求BC的取值围.解析：过点B作BEAD，交CD于点E，那么四边形ADEB是平行四边形，可知BEAD4cm，DEAB2cm.于是ECCDDE826cm.在ABC中，ECBEBCECBE，所以2cmBC10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中例3如图3，在梯形ABCD中，ADBC，B
22、C90，E、F分别为AD、BC的中点，BC8，AD4，试求EF.解：过点E分别作EMAB，ENCD，交BC于M、N，那么EMFB，ENFC，所以MEN90，AEBM，DECN，所以MFNF，所以EFMN(BCAD)(84)2.4、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例4，如图4，梯形ABCD中，ADBC，BC45，梯形ABCD是等腰梯形吗？解：过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC于点F，那么AEBDFC90，AEDF，又BC45.于是ABE与DCF能够完全重合，即ABCD.5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形例5如图5，梯形ABCD中
23、，ADBC，AD5，BC9，B80，C50.求AB的长.解：延长BA、CD交于点E，因为ADBC，所以ADEC50.因为E180BC50，所以EADEC.所以AEAD5，BEBC9.所以ABBEAE954.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将条件转化到一个三角形中例6如图6所示，在梯形ABCD中，上底AD1cm，下底BC4cm，对角线BDAC，且BD3cm，AC4cm.求梯形ABCD的面积解：过点D作DEAC交BC的延长线于点E，因为在梯形CD中，ADBC，所以四边形ACED是平行四边形.那么ACDE，ADCE.又因为ACBD，所以BDDE，即BDE是直角三角形.因为BDE与梯
24、形ABCD同高，且梯形ABCD中ADBCBCCEBE，所以S梯形ABCDSBDE246(cm2).7、利用中点，割补三角形如图7，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将AED绕点E旋转180，到BEF的位置，拼成DFC，把问题置于三角形中解决例7如图7梯形ABCD中，ADBC，E为AB的中点，DECE.试说明CDBCAD.解析：按上述方法拼成DFC，同时AED与BEF关于点E中心对称，故EFED，ADBF.又因为CEDF，故CDCFBCBFBCAD初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。在教师的帮助下，我根据
25、自己的学习经历把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经历。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接那么成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难
26、，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。11 / 11
