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1、word第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 矩阵的初等变换1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换(1)对调矩阵两行： (2)数k乘矩阵某一行：(3)数k乘以矩阵某一行加到另一行的对应元素上： 把定义中的“行换成“列，称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等变换-矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。例，对三阶单位矩阵做初等变换。=E(1,2),= E(2(3),=E(1，2(3),初等方阵定义 初等方阵 对单位矩阵施行一种初等变换得到的矩阵。有三种初等方阵：E( i, j ), E(i(k), E(i, j(k)2. 等价矩阵 P59 等价矩阵的定义 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B
2、,就称矩阵A与矩阵B行等价: 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B列等价: 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价：A B等价矩阵的性质(1)反身性 A A(2)对称性 假如A B, 如此 B A(3)传递性 假如 A B, B C, 如此A C3. 阶梯形矩阵阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形：下面矩阵不是阶梯形：4. 行最简形矩阵在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1，且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。方法：先化为阶梯形矩阵：方法：用初等变换行初
3、等变换目标：上三角形再化非零行第一个非零元素为1，并把所在列的其他元素化为0。 。再化行最简形机动例：再把上述矩阵化为行最简形。5. 矩阵的标准形 任何一个矩阵A,总可以经过初等变换把它化为标准形,标准形由m, n, r三个数完全确定，其中r是行阶梯形中非零行的行数。例如 P61, 6. 用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵1理论准备方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵, 使 .2求逆矩阵的方法7. 用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程 (A | B )初等行变换 E | 例3P65求解矩阵方程，其中，。解：方程两边左乘A逆阵：，有两个方法求： 方法一：先求A的逆阵，再做乘法运算。 方法二：利用
4、行初等变换：(A | B )初等行变换 E | 。例1P64 设的最简形矩阵为F，求F, 并求一个可逆矩阵P，使 PA= F. 方法： A | E 初等行变换 F | P 6作业 P 781 1 2， 2， 31，41，51堂上练习 题6注意矩阵方程的表示，求解2 矩阵的秩定义3A的k阶子式在矩阵A中任选k行k列，这些行列交叉处的元素按原来顺序组成的一个行列式称为矩阵 A的k阶子式。定义4矩阵的秩如果矩阵A中不等于0的子式最高阶数为r，如此称r 为矩阵的秩.记为R(A), 即R(A)=r.2结论满秩矩阵可逆矩阵成为满秩矩阵，此时, R(A)= n, R(A) n.定理2 假如A B, 如此 R
5、(A)= R(B).推论 假如可逆矩阵P, Q使 PAQ=B, 如此R(A)= R(B)。3计算矩阵秩的方法按定义求矩阵的秩的方法找到一个r阶子式不等于0，证明所有r+1阶子式全等于0 此时，R(A)=r例 计算如下矩阵的秩,A有一个三阶子式不为零，即，A的所有四阶子式全为零因为A的所有四阶子式的最后一行全为零，所以A的秩等于3，即R(A)=3。事实上，A是一个阶梯形矩阵, 关于矩阵的秩有下面的结论：矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中的阶梯个数。即 矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中非零行向量的个数用初等行变换方法求矩阵的秩用初等行变换方法把矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵中非零行向量的个数即为矩阵的秩。解：用初等
6、行变换方法求B的秩，并求B的一个最高阶非零子式。因为不为零的行向量有三个，所以B的秩等于3, 即R(B)=3。在阶梯形矩阵当中，由前三行的第1，3，4列所构成的三阶子式不为零，所以，在B中选相应的三阶子式也不为零，即。4秩的性质；假如A B, 如此 R(A)= R(B)；假如可逆矩阵P, Q使 PAQ=B, 如此R(A)= R(B)；假如，如此;设，假如A为满秩矩阵，如此。3 线性方程组的解考察下面的线性方程组(解是什么？)关于线性方程组，我们关心的问题是：方程组是否有解？如何求解？如何表示解解的结构？1 根本概念非齐次线性方程组 AX=b系数矩阵 A增广矩阵 注意：mn非齐次线性方程组 m个
7、方程 n个未知数齐次线性方程组 AX=O2 方程组的解：如果一组数c1,c2,.,分别代入方程组x1,x2,xn中，结果每个方程成为恒等式，称c1,c2,.,是方程组的解。方程组有解，称它是相容的(P71)；方程组无解，称它是不相容的。3 方程组的初等变换(1)对调两个方程的位置(2)用非零数乘以某个方程(3)数乘某个方程加到另一个方程上方程组的初等变换相当于对增广矩阵作初等行变换结论线性方程组经过初等变换后，成为它的同解方程组。方程组与增广矩阵的关系：4求解线性方程组非齐次线性方程组的解方法：用初等行变换将增广矩阵化为行最简形行最简形对应的方程组与原方程组是同解方程组；写出同解方程组；求同解
8、方程组。例 解线性方程组例1方程组的解为。 写成向量形式： 练习，写出下面方程组的增广矩阵，写出增广矩阵化为行最简形矩阵对应的同解线性方程组。同解方程组为解之 可任取，称为自由位知量，一般用c表示任意常数，故有,写出其向量形式：这个解称为方程组的一般解或通解. 机动 P75,例127作业P79 9,10(3),12, 14(2)(3),5 如何判断方程组有解 (线性方程组解的讨论)从上节的例1， R(A)=3, ,方程组有解.从例2可看出： =2, 方程组有无穷解从例3可看出: R(A)=2, ,方程组无解事实上，任何一个增广矩阵可通过初等行变换化为阶梯形行最简形，从阶梯形矩阵我们可研究系数矩
9、阵的秩和增广矩阵的秩，从而在研究方程组的解。设R(A)=r，如此增广矩阵可化为如下阶梯形行最简形注意到阶梯形矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组。当且仅当 dr+1=0, 即 时方程组有解，并且如果rn，方程组的解为 含有nr个自由未知量，有无穷解。如果r =n，方程组有唯一解定理 n元线性方程组解的情况如下：1对于非齐次线性方程组Ax=b，有解的充要条件是(2) 有无穷解的充要条件是无穷解中含有nr个自由未知量r R(A) (3)有唯一解的充要条件是推论：假如mn，方程组(3.1)有唯一解的充要条件是系数行列式不等于0。6齐次线性方程组的解齐次线性方程组的矩阵形式为Ax =0. 显然
10、，Ax =0一定有解，因为永远成立。如果齐次线性方程组只有一个解，那么肯定就是零解。如果齐次线性方程组有无穷解，那么除零解以外还有别的解，称为非零解。定理 n元齐次线性方程组解的情况如下：1只有零解的的充要条件是(2) 有非零解无穷解的充要条件是推论：齐次线性方程组中假如m=n， 如此有1只有零解的的充要条件是(2) 有非零解无穷解的充要条件是解齐次线性方程组Ax = 0的一般方法例10 求解齐次线性方程组，同解方程为，由此得，为自由位未知量，令，得，写成向量形式为。例13 讨论非齐次线性方程组的解设线性方程组为问取何值时，此方程组1有唯一解；2无解；3有无限多个解，并求其通解。解法一，对增广
11、矩阵作初等行变换，把它化为行最简形，对系数矩阵的秩和增广矩阵的秩进展讨论。（1） 当且时，=3，方程组有惟一解；（2） 当，=1，方程组无解；（3） 当时，=2 n, (n = 3),方程组有无穷解。这时，由此得同解方程组，解之，为自由未知量，方程组的通解为，c为任意常数，即 解法二 P 76因为系数矩阵A是方阵，故方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0，即, 而=（1） 当且时，方程组有惟一解；（2） 当时，=1，方程组无解；（3） 当时，=2 n, (n = 3),方程组有无穷解。这时，方程组的通解为堂上练习，P79, 题16，参考ppt 3-3增广矩阵为=1 n (n =3)对应的方程组为增广矩阵为=2,方程组无解。8作业 P79 13(2)(3), 141，15，16，1828 / 28
