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1、特征值与特征向量习题评讲、设方阵有特征值，1，-2，2T和-2，-1，2T分别是对应的特征向量，试将向量3，4，-6T表示成和的线性组合，并求。解：令，解对应的线性方程组，所以，。故。，。、求以下方阵的特征值及对应的线性无关的特征向量：；解：。另解：第二行减第三行有个单特征值：，。对，解方程组，由，通解为：任意，一个根底解系为：，即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方程组，由，通解为：任意，一个根底解系为：，即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方程组，由，通解为：任意，一个根底解系为：，即属于的线性无关的特征向量只有一个。解：。的特征值为：，。对，解方程组，由，通解为：任意，令，得
2、一个根底解系：，。即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方程组，由，通解为：任意，一个根底解系为：，即属于的线性无关的特征向量只有一个。解：。的特征值为：，。对，解方程组，由，通解为：，任意。一个根底解系为：，。即属于的线性无关的特征向量恰好有个：，。对，解方程组，由，通解为：任意，一个根底解系为：，。即属于的线性无关的特征向量只有一个。解：。的特征值为：，。对，解方程组，通解为：，任意，一个根底解系为：，。即属于的线性无关的特征向量恰好有个：，。对，解线性方程组，通解为：为任意数，一个根底解系为：，。即属于的线性无关的特征向量只有一个。总自测题、矩阵的全部特征值为。解：。的全部特征值为：
3、，。题型举例证明题、证明：矩阵只有两个线性无关的特征向量。证明：；的全部特征值为：。解齐次线性方程组，由，秩，这个元齐次线性方程组的根底解系含解个数秩，所以矩阵只有两个线性无关的特征向量。证明：；的全部特征值为：解齐次线性方程组，由，通解为：，任意，一个根底解系为：，所以矩阵只有两个线性无关的特征向量。、证明方阵与有一样的特征多项式从而有一样的特征值。证明：，可见方阵与有一样的特征多项式，从而有一样的特征值。、设方阵满足，证明：的特征值只能是或。证明：设是方阵的特征值，是对应的特征向量：。因为，所以，即，而，所以，故或。、设与是方阵的两个不同特征值，和分别是对应于和的特征向量，证明：不是的特征
4、向量。证明：假设是的属于特征值的特征向量，则，即。由题设：，于是有，即有，属于不同特征值，的特征向量，线性无关，故有，；即有，这与题设条件矛盾，所以不是的特征向量。第五章自测题、假设是阶方阵的一个特征值，则。解：是阶方阵的一个特征值，则，即，即，所以。、假设是可逆方阵的一个特征值，则方阵必有一个特征值为。解：是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是方阵的一个特征值。解：因为，所以是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值。、假设与相似，则，。解：，则，即，所以。与的特征值都为：，所以，。解：，则与的特征值都为：，。由，且，所以。因为所有特征值之和主对角线上元素之和：，所以。、设方阵有一个特征值为。证明：方阵有一个特征值为。证明：设为方阵的属于特征值的特征向量：。，即且，所以矩阵有一个特征值为。总自测题、假设可逆矩阵有一个特征值为，则方阵必有一个特征值为。；。解：可逆矩阵有一个特征值为可逆矩阵有一个特征值为方阵必有一个特征值为。选。解：。可逆矩阵有一个特征值为矩阵有一个特征值为有一个特征值为。
