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1、专题：数列单调性问题的研究一、问题提出问题1：假如其中为实常数，且数列为单调递增数列，如此实数的取值围为_.问题2：数列满足为实常数，其中，且数列为单调递增数列，如此实数的取值围为_.问题3：通项公式为的数列，假如满足，且对恒成立，如此实数的取值围是_.问题4：数列满足，最小项为第_项；最大项为第_项问题5：数列满足为实常数，最大项为，最小项为，如此实数的取值围为_.问题6：数列的通项公式为，假如对任意正整数，均成立，如此实数的取值围是_ 二、思考探究探究1：为两个正数，且，设，当且时，1证明：数列为单调递减数列；数列为单调递增数列2证明：探究2：数列an满足：a1 = 5，an+1an =
2、，数列bn的前n项和为Sn满足：Sn = 2(1bn)1证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；2求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解：1令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an =
3、72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1= (2n3)(2n1)75 = n(n4)2在 Sn = 2(1bn)中令n = 1得b1 = 2(1b1)，解得b1 = ，因为Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得bn+1 = 2bn+12bn，即3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n从而anbn = n(n4)()n设数列anbn的最大项为akbk，如此有k(k4)()k(k1)(k5)()k+1，且k(k4)()k(k1)(k3)()k-1，所以k210，且k22k90，因为k
4、是自然数，解得k = 4所以数列anbn的最大项为a4b4 = 探究3：数列an的首项a1a，Sn是数列an的前n项和，且满足：S3n2anS，an0，n2，nN*1假如数列an是等差数列，求a的值；2确定a的取值集合M，使aM时，数列an是递增数列解：1在S3n2anS中分别令n2，n3，与a1a得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因为an0，所以a2122a，a332a 因为数列an是等差数列，所以a1a32a2，即2(122a)a32a，解得a3经检验a3时，an3n，Sn，Sn1满足S3n2anS2由S3n2anS，得SS3n2an，即(SnSn1)(Sn
5、Sn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为an0，所以SnSn13n2，(n2)，所以Sn1Sn3(n1)2，得an1an6n3，(n2)所以an2an16n9，得an2an6，(n2)即数列a2，a4，a6，与数列a3，a5，a7，都是公差为6的等差数列， 因为a2122a，a332a所以an要使数列an是递增数列，须有a1a2，且当n为大于或等于3的奇数时，anan1，且当n为偶数时，anan1，即a122a，3n2a63(n1)2a6(n为大于或等于3的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n为偶数)，解得a所以M(，)，当aM时，数列an是递增数列 探究4：首项为正数的数列
6、满足，假如对一切都有，如此的取值X围是_. 探究5：1数列满足，假如数列单调递减，数列单调递增，如此数列的通项公式为.解： 说明：本答案也可以写成方法一：先采用列举法得，然后从数字的变化上找规律，得，再利用累加法即可；方法二：因为，所以两式相加，得，而递减，所以，故；同理，由递增，得；又，所以，以下同上. 2数列满足，假如数列单调递减，数列单调递增，如此数列的通项公式为.探究6：数列的通项公式为：，设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与同时成立其中, , 试某某数的取值X围解：当时, ,所以 假如,即,如此,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得 假如,即,如此当时,是递增数列,故由
7、题意得,即,解得 假如,即,如此当时,是递减数列, 当时,是递增数列,如此由题意,得,即,解得综上所述取值X围是或可先借助数形结合观察充要条件，通过画图研究后得不能出现尖底形状四、真题五、反应检测1. 数列的通项公式为， 假如对于一切的自然数，不等式恒成立,如此实数的取值X围为_.解：令，恒成立； 数列对，上单调递增；由题意可知又； 2.1数列an的通项公式为annp，数列bn的通项公式为bn2n5设假如在数列中，c8(nN*，n8)，如此实数p的取值X围是(12，17)2数列的通项公式为，数列的通项公式为. 设,假如在数列中，假如恒成立，如此在数列中的最大项是第_项. 3. 数列满足：，其首
8、项，假如数列为单调递增数列，如此实数的取值X围是_.4. 数列满足：，1假如，求数列的通项公式；2设，数列的前项和为，证明：解：1假如时，所以，且两边取对数，得，化为，因为，数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以2由，得， 当时，由，所以与同号因为，且，所以恒成立，所以，所以因为，所以，所以5. 设数列的前项和为，且. 1假如是等差数列，求的通项公式；2假如. 当时，试求； 假如数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值.解：1由等差数列求和公式，2分，解得，； 4分说明：也可以设；或令，先求出首项与公差2由， 得 ， 6分， . 8分说明：用，利用分组方法求和，类似给分.3设，由，
9、得与， 10分又， 相减得，数列为递增数列，解得， 12分由， 14分，解得. 16分6. 数列满足1假如是递增数列，且成等差数列，求的值；2假如，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式解:(1) 因为数列为递增数列,所以,如此,分别令 可得,因为成等差数列,所以 或, 当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以. (2)由题可得,因为是递增数列且 是递减数列,所以且,两不等式相加可得 , 又因为,所以,即, 同理可得且,所以, 如此当时, 这个等式相加可得. 当时,这个等式相加可得 ,当时,符合,故 综上.7.数列中，对于任意，假如对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求 108. 假
10、如有穷数列各项均不相等，将它的项从大到小重新排序后项的序号构成的数列称为的“序数列如数列：满足，如此其序数列为1,3,2假如数列的前项和为，的前项积为，且，记.1假如，数列的项数为3，求的序数列；2假如，有穷数列与项数均为，且它们有一样的序数列，的通项公式为，求的值.解：1因为，分别令，得，可求出：，又，所以所以的序数列为2，1，3. 6分2因为，当时，易得，当时，又因，即，故数列的序数列为9分由得，时， 得， ，所以，所以是以为公差的等差数列，且首项为，所以，从而，易求得，所以，从而13分所以要使数列的序数列为，只需，解得：，又因为，所以. 所以当有穷数列与有一样的序数列时，的值为11. 1
11、6分9数列的首项为1，其前n项和为，且，其中1证明：数列不是等差数列；2假如数列为等比数列，设，且不等式 对任意的恒成立，某某数的取值X围解：1由，如此，两式相减得，又，即，如此时，假设是等差数列，如此公差为，如此，又由可得矛盾，故数列不是等差数列；2由1得假如数列为等比数列，如此，即，所以，如此，又，即，因此为单调递减数列，如此，由为单调递减数列，易知数列为单调递增数列，假如恒成立，只要的最大项小于b即可，而当无限大时，无限接近，且，故10. 己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列1假如nN*，求证：为等比数列；2设nN*，其中是公差为2的整数项数列，假如，且当时，是递减数列，求数列
12、的通项公式；2由题意得：对恒成立且对恒成立，5分对恒成立 7分对恒成立 9分而或或. 10分11. 数列、由如下条件确定：，；当，与满足如下条件：当时，；当时，.1如果，试求，；2证明：数列为等比数列；3设()是满足的最大整数，证明：.解：1，.4分2证明：当时，当时，；当时，.当时，都有，数列是以为首项，为公比的等比数列.10分3证明：由2可得，()，对于，都有,，.假如，如此，与是满足()的最大整数相矛盾，是满足的最小整数.，结论成立.16分12. 数列满足，是数列的前项和1假如数列为等差数列求数列的通项；假如数列满足，数列满足，试比拟数列前项和与前项和的大小；2假如对任意，恒成立，某某数
13、的取值X围解：(1)因为，所以，即，又，所以， 又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以； 因为，所以，其前项和，又因为， 所以其前项和，所以， 当或时，；当或时，；当时，2由知，两式作差，得，所以,作差得， 所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值X围为13. 设非常数数列an满足an+2，nN*，其中常数，均为非零实数，且 0.1证明：数列an为等差数列的充要条件是20；21， a11，a2，求证：数列|an1an1| (nN*，n2)与数列n (nN*)中没有一样数值的项.解：1数列，.充分性：假如，如此有，得，所以为等差数列.4分必要
14、性：假如为非常数等差数列，可令(k0). 代入，得.化简得，即. 因此，数列an为等差数列的充要条件是20. 8分2由得. 10分又因为，可知数列(nN*)为等比数列，所以 (nN*).从而有n2时， ，.于是由上述两式，得 . 12分由指数函数的单调性可知，对于任意n2，|an1an1|.所以，数列中项均小于等于.而对于任意的n1时，n1，所以数列n(nN*)中项均大于.因此，数列与数列n(nN*)中没有一样数值的项.14. ，都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列1假如数列是常数列，求数列的通项公式；2假如是不为零的常数，求证：数列是等差数列；3假如为常数，求
15、证：对任意的，数列单调递减解：1因为，所以， 1分因为数列是各项不为零的常数列，所以，如此由与得，当时，两式相减得， 3分当时，也满足，故 4分2因为，当时，两式相减得，即，即，又，所以，即， 6分所以当时，两式相减得，8分所以数列从第二项起是公差为等差数列；又当时，由得，当时，由得，故数列是公差为等差数列10分3由2得：当时，即，因为，所以，即，所以，即，所以，当时，两式相减得，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时， 12分，13分另外由条件得，又，所以，因而，令，如此， 14分因为，所以，所以对任意的，数列单调递减 15.数列和,是公比为的等比数列,且假如不等式对一切恒成立,如此实数的取值X围为_.解:.假如,如此中必存在相邻两项满足矛盾.
