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1、垂直平分线角平分线综合应用一解答题（共30小题）1如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF2如图，四边形ABCD中，B=90，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为BC的中点3已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明4如图，B=C=90，DE平分ADC，AE平分DAB，求证：E是BC的中点5如图在ABC中C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=6cm，求DEB的周长6如图，AD为BAC的平分
2、线，DFAC于F，B=90，DE=DC，试说明：BE=CF7如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，且SABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长8如图，ABC=60，点D在AC上，ED=6，DEBC，DFAB，且DE=DF，求：（1）ABD的度数；（2）DB的长度9如图已知ADBC，DCAD，BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点问：（1）点E在ABC的平分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明10如图，四边形ABCD中，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC（1）求证：AE平分BAD；（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；（3）
3、若AD=10，CB=8，求SADE11如图，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，AB=6，BC=8，若SABC=28，求DE的长12如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC13已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线14如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED15如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的
4、长；（2）若MFN=70，求M的度数16如图，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF（1）若A=60，ABD=24，求ACF的度数；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，SBCF=10，求点D到AB的距离17已知：如图，在ABC中，BAC=120，若PM、QN分别垂直平分AB、AC（1）求PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求APQ的周长18电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）19如图：DE是ABC中AC边
5、的垂直平分线，若BC=8 米，AB=10厘米，求EBC的周长20如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足（1）说明：DC=BE；（2）若AEC=72，求BCE的度数21如图所示，MP和 NQ分别垂直平分AB 和AC（1）若BAC=105，求PAQ的度数；（2）若PAQ=25，求BAC的度数22如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AEBE于点E，且BE=求证：AB平分EAD23如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE24如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂
6、直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若CAD=20，求BOF的度数25如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的*种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形A
7、KNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由26如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的*种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将ACM绕*一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，
8、试探究线段DE与AM之间的关系27如图，在RtABC中，C=90，A=60，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQBC？28如图，ABC中，C=Rt，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒（1）当t为何值时，CP把ABC的周长分成相等的两部分（2）当t为何值时，CP把ABC的面积分成相等
9、的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为何值时，BCP为等腰三角形？29如图，在ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按CBA的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒（1）当t=1时，求ACP的面积（2）t为何值时，线段AP是CAB的平分线？（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）30如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F试回答：（1）图中等腰三角形是猜想：EF与BE、CF之间的关系是理由：（2）如图，若ABAC，图中等腰三角形是在第（1）问中EF与B
10、E、CF间的关系还存在吗？（3）如图，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由垂直平分线角平分线综合应用_2017年03月11日的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016海淀区校级模拟）如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF【分析】作EHAB于H，作FGBC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明AEHCFG即可【解答】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC
11、，EH=ED（角平分线的性质）EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点2（2016秋宁江区期末）如图，四边形ABCD中，B=90，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为BC的中点【分析】（1）根据平行线的性质得到BAD+ADC=180，根据角平分线的定义得到MAD+ADM=90，根据垂直的定义得到答
12、案；（2）作NMAD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案【解答】解：（1）ABCD，BAD+ADC=180，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180，MAD+ADM=90，AMD=90，即AMDM；（2）作NMAD交AD于N，B=90，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M为BC的中点【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键3（2016春*校级期末）已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE
13、、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”可知AD为A的平分线，又DEAB，DFAC，根据角平分线的性质可证DE=DF【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF理由：AD为等腰三角形底边上的中线，AD平分BAC，又DEAB，DFAC，DE=DF【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质关键是运用等腰三角形的“三线合一”解题4（2016春沭阳县期末）如图，B=C=90，DE平分ADC，AE平分DAB，求证：E是BC的中点【分析】过点E作EFAD，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论【解
14、答】证明：过点E作EFAD于F，B=C=90，CDBC，ABBC，DE平分ADC，AE平分DAB，CE=DF，EF=BE，CE=BE，E是BC的中点【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键5（2016春潜江校级期中）如图在ABC中C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=6cm，求DEB的周长【分析】利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，然后利用线段中的等长来计算DEB的周长【解答】解：C=90，AD平分CAB，交BC于D，DEAB于E，AC=AE，CD=DE，AC=BC，B=45，BE=DE，DEB的周长=BE+DE
15、+BD=BE+AC=AB=6cm【点评】本题考查了三角形的全等的性质；解题的关键是利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，要学会进行线段的等效转移6（2016秋监利县校级期中）如图，AD为BAC的平分线，DFAC于F，B=90，DE=DC，试说明：BE=CF【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明BDEFDC就可以求出结论【解答】解：B=90，BDABAD为BAC的平分线，且DFAC，DB=DF在RtBDE和RtFDC中，RtBDERtFDC（HL），BE=CF【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键7（2016秋红安
16、县期中）如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，且SABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出ABD的面积，求出ADC面积，即可求出答案【解答】解：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC于点F，DE=DF=2，SADB=ABDE=42=4，ABC的面积为7，ADC的面积为74=3，ACDF=3，AC2=3，AC=3【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键8（2016春*市校级期中）如图，ABC=60，点D在AC上，ED=6，DEBC，DFAB，且DE=DF，求：
17、（1）ABD的度数；（2）DB的长度【分析】（1）根据DEBC，DFAB，且DE=DF，即可得出点D在ABC的角平分线上，由ABC=60，即可得出ABD=30；（2）根据在直角三角形中，含30角的直角边等于斜边的一半，即可得出DB的长【解答】解：（1）DEBC，DFAB，且DE=DF，DB平分ABC，即ABD=ABC=60=30；（2）在直角三角形BFD中，DBC=ABC=60=30，DE=5，BD=2DE=12【点评】本题考查了角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，含30角的直角边等于斜边的一半9（2016秋*区校级月考）如图已知ADBC，DCAD，BAD的平分线交
18、CD于点E，且点E是CD的中点问：（1）点E在ABC的平分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明【分析】（1）连结BE，作EHAB于H，如图，利用角平分线的性质得ED=EH，而ED=EC，则EC=EH，然后根据角平分线的判定方法即可得到BE平分ABC；（2）利用“HL”可证明RtADERtAHE得到AD=AH，同样可证明RtBCERtBHE得到BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB【解答】解：（1）连结BE，作EHAB于H，如图，AE平分BAD，EDAD，EHAB，ED=EH，点E是CD的中点，ED=EC，EC=EH，而ADBC，DCAD，ECBC，BE平分ABC，即点E
19、在ABC的平分线上；（2）AD+BC=AB理由如下：在RtADE和RtAHE中，RtADERtAHE，AD=AH，同样可证明RtBCERtBHE，BC=BH，AD+BC=AH+BH=AB【点评】本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上也考查了全等三角形的判定与性质10（2016秋*区月考）如图，四边形ABCD中，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC（1）求证：AE平分BAD；（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；（3）若AD=10，CB=8，求SADE【分析】（1）过点E作EFDA于点F，首先根据角的平分线上的点
20、到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分BAD；（2）首先证明RtDFE和RtDCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；（3）根据角平分线的性质可得EF=CE，再利用三角形的面积公式可得答案【解答】（1）证明：过点E作EFDA于点F，C=90，DE平分ADC，CE=EF，E是BC的中点，BE=CE，BE=EF，又B=90，EFAD，AE平分BAD（2）证明：AD=CD+AD，C=DFE=90，在RtDFE和RtDCE中，RtDFE和RtDCE（HL），DC=DF，同理AF=AB，AD=AF+DF，
21、AD=CD+AD；（3）解：CB=8，E是BC的中点，CE=4，EF=4，AD=10，SADE=104=20【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理11（2016秋黄冈校级月考）如图，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，AB=6，BC=8，若SABC=28，求DE的长【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可【解答】解：BD平分ABC交AC于点D，DEAB，DFBC，DE=DF，SABC=28，AB=6，BC=8，6DE+8DF=28，DE=DF=4【点评】本题考
22、查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键12（2016历下区一模）如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可【解答】证明：ACB=90，ACBC，EDAB，BE平分ABC，CE=DE，DE垂直平分AB，AE=BE，AC=AE+CE，BE+DE=AC【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等13（2016萧山区二模）已知：如图，AD是A
23、BC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线【分析】由AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，BED=CFD=90，继而证得RtBEDRtCFD，则可得B=C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线【解答】证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，BED=CFD=90，在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFD（SAS），B=C，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD是BC的中垂线【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质注意掌握三线合一性质的应用
24、14（2016怀柔区一模）如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】证明：DE是线段AB的垂直平分线，AE=BE，ADE=90，EAB=B在RtABC中，C=90，CAB+B=90在RtADE中，ADE=90，AED+EAB=90，CAB=AED【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键15（2016秋农安县期末）如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，D
25、M与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若MFN=70，求M的度数【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=，然后求出CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出MNF+NMF，再求出A+B，根据等边对等角可得A=ACM，B=B，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：（1）DM、EN分别垂直平分AC和BC，AM=CM，BN=，CMN的周长=CM+MN+=AM+MN+BN=AB，CMN的周长为15cm，AB=15cm；（2）MFN=70，MNF+NMF=18070=110，AMD=NMF，BNE=MN
26、F，AMD+BNE=MNF+NMF=110，A+B=90AMD+90BNE=180110=70，AM=CM，BN=，A=ACM，B=B，M=1802（A+B）=180270=40【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键16（2016春雁塔区校级期末）如图，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF（1）若A=60，ABD=24，求ACF的度数；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，SBCF=10，求点D到AB的距离【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC
27、，根据角平分线的定义得到CBA=48，根据三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形的面积公式求出DG，根据角平分线的性质解答即可【解答】解：（1）BD平分ABC，CBA=2CBD=2ABD=48，ACB=1806048=72，EF是BC的中垂线，FB=FC，FCB=FBC=24，ACF=7224=48；（2）作DGBC于G，DHAB于H，BD平分ABC，DGBC，DHAB，DH=DG，BF：FD=5：3，SBCF=10，SDCF=6，SBCD=16，DG=，DH=DG=，即点D到AB的距离为【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
28、离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是今天的关键17（2016春东明县期中）已知：如图，在ABC中，BAC=120，若PM、QN分别垂直平分AB、AC（1）求PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求APQ的周长【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边对等角的性质可得PAB=B，同理求出QAC=C，然后根据三角形的内角和定理求出B+C=60，然后进行计算即可得解；（2）求出APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解【解答】解：（1）PM垂直平分AB，PA=PB，PAB=B，同理，QA=QC，QAC=C，BAC=120，B+C=180120=6
29、0，PAQ=BAC（PAB+QAC）=BAC（B+C）=12060=60；（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即APQ的周长为10cm【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质熟记解题的关键18（2016秋西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上故
30、两线交点即为发射塔P的位置【解答】解：设两条公路相交于O点P为线段AB的垂直平分线与MON的平分线交点或是与QON的平分线交点即为发射塔的位置如图，满足条件的点有两个，即P、P【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题19（2016秋鹤庆县校级期中）如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8 米，AB=10厘米，求EBC的周长【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：DE是ABC中AC边的垂直平分线，EA=EC，EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm，答：EBC的周长为18cm【点评】
31、本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键20（2016秋盐都区期中）如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足（1）说明：DC=BE；（2）若AEC=72，求BCE的度数【分析】（1）由G是CE的中点，DGCE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是RtADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；（2）由DE=DC得到DEC=BCE，由DE=BE得到B=EDB，根据三角形外角性质得到EDB=DEC+BCE
32、=2BCE，则B=2BCE，由此根据外角的性质来求BCE的度数【解答】解：（1）如图，G是CE的中点，DGCE，DG是CE的垂直平分线，DE=DC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线，DE=BE=AB，DC=BE；（2）DE=DC，DEC=BCE，EDB=DEC+BCE=2BCE，DE=BE，B=EDB，B=2BCE，AEC=3BCE=72，则BCE=24【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等也考查了直角三角形斜边上的中线性质21（2016秋和平区期中）如图所示，MP和 NQ分别垂直平分AB 和AC（1）若BAC=105，求PA
33、Q的度数；（2）若PAQ=25，求BAC的度数【分析】（1）先根据三角形内角和等于180求出ABP+ACQ=75，再根据线段垂直平分线的性质PAB=ABP，QAC=ACQ，所以PAB+QAC=75，便不难求出PAQ的度数为30；（2）根据线段垂直平分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，则B=BAP，C=CAQ，则APQ=2B，AQP=2C；根据三角形的内角和定理，得APQ+AQP=180PAQ=150，则B+C=75，进而求解【解答】解：（1）BAC=105，ABP+ACQ=180105=75，MP、NQ分别垂直平分AB和AC，PB=PA，QC=QAPAB=ABP，QAC=ACQ，PAB+QA
34、C=ABP+ACQ=75，PAQ=10575=30；（2）MP和NQ分别垂直平分AB和AC，AP=BP，AQ=CQ，B=BAP，C=CAQ，APQ=2B，AQP=2CPAQ=25，APQ+AQP=180PAQ=155，B+C=77.5BAC=B+C+PAQ=77.5+25=102.5【点评】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质22（2016西城区一模）如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AEBE于点E，且BE=求证：AB平分EAD【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，ADBC根据角平分线的判定定理即可得到结论【解答】证明：AB=AC，
35、AD是BC边上的中线，BD=BC，ADBC，BE=BC，BD=BE，AEBE，AB平分EAD【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键23（2016黄冈模拟）如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE【分析】根据等腰三角形的性质得到BAD=CAD，ADB=ADC=90，根据等腰三角形的判定定理得到CAD=ADE根据余角的性质得到BAD=BDF，等量代换即可得到结论【解答】证明：AB=AC，AD是ABC点的中线，BAD=CAD，ADB=ADC=90，E是AC的中点，DE=AE=EC，
36、CAD=ADE在RtABD中，ADB=90，B+BAD=90DFAB，B+BDF=90，BAD=BDF，BDF=CAD，BDF=ADE【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键24（2016春*校级期末）如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若CAD=20，求BOF的度数【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得ADBC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；（2）根据等腰三角形的性质可得BAD=CAD=20，C
37、AB=40，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到BOF的度数【解答】（1）证明：AB=AC，点D是BC的中点，ADBC，AD是BC的垂直平分线，BO=CO，OE是AC的垂直平分线，AO=CO，BO=AO，点O在AB的垂直平分线上；（2）解：AB=AC，点D是BC的中点，AD平分BAC，CAD=20，BAD=CAD=20，CAB=40，OEAC，EFA=9040=50，AO=CO，OBA=BAD=20，BOF=EFAOBA=5020=30【点评】考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质25（2006）如图1，RtABC中AB=AC，
38、点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的*种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由【分析】（1）要证DF=EF
39、，就要证出FDE=FED，也就是BDA=NEC，观察这两个角，不能直接用角的大小关系或全等来得出相等，则可通过构建全等三角形来得出一个和两个分别相等的中间值，以此来证出两角相等，则可过C作CPAC，则我们可通过证三角形ABD和APC全等来得出ADB=ACP，通过证三角形CPN和CEN全等来得出MEC=NPC先看第一对三角形，已知的条件有AB=AD，一组直角，而ABD和PAC都是ADB的余角，因此ABD=PAD，则两三角形就全等，可得出AC=PC=CE，ADB=NPC，又知道了NCE=P=45，一条公共边，则后面的一对三角形也全等，就能得出ADB=MEC=NPC，也就能得出FDE=FED了由此可
40、得证（2）解题思路和（1）一样，也是先证三角形ABD和APC全等，后证三角形CPN和CEN全等，来得出结论【解答】解：DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45P=ACB，BAD=ACPAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，ADB=PAD=CECE=CP=CPNCENP=CENCEN=ADBFDE=FEDDEF是等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45P=ACB=EAMBDABD+BAM=BA
41、M+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，D=PAD=EC，CE=CP又=CPNCENP=ED=EDEF为等腰三角形【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质；通过已知和所求条件正确的构建出全等三角形是解题的关键26（2006西岗区）如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的*种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将ACM绕*一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系【分析】（1）分三种情况讨论，当BAC=90，易得ABCAED；根据直角三角形的性质，可得ED=2AM；进而可以在BAC90与BAC90时，比较可得有ED=2AM的结论；（2）根据（1）的结论，选取易得答案【解答】解：（1）分三种情况；当BAC=90，M是BC的中点AM=BM=MC=EAD=BAC=90，AE=AB，AC=ADABCAEDED
