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1、实验四解线性方程组一解线性方程组的根本思想1直接三角分解法：将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。2平方根法：如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，如此存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：A=LLT。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法Cholesky分解。3追赶法：设系数矩阵为三对角矩阵如此方程组Ax=f称为三对角方程组。设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记可先依次求出
2、L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f得出y，再求解上三角方程组Ux=y。4雅克比迭代法：首先将方程组中的系数矩阵A分解成三局部，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。之后确定迭代格式，X = BX +f ，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。k = 0,1，.再选取初始迭代向量X，开始逐次迭代。5超松弛迭代法SOR它是在GS法根底上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵MD，其中0 为可选择的松弛因子，一般当12时称为超松弛。二.实验题目与实验目的1(第五章习题8)用
3、直接三角分解杜利特尔Doolittle分解求线性方程组 + += 9， + += 8， + += 8的解。2(第五章习题9)用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中A=，b=.3第五章习题10用改良的平方根法解线性方程组 = 4第六章习题7用SOR方法解线性方程组分别取松弛因子=1.03，=1，=1.14 - = 1，- +4- = 4，- +4= -3.准确解x=，1，-.要求当510时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数.5.第六章习题8用SOR方法解线性方程组取=0.95 -2+ = -12，- +4- 2= 20，2 -3+10= 3.要求当10时迭代终止.6第六章习题9设有线性方程组Ax
4、=b，其中A为对称正定阵，迭代公式+(b-A)，k=0，1，2，试证明当0时上述迭代法收敛其中0 A=1/4,1/5,1/6;1/3,1/4,1/5;1/2,1,2; b=9;8;8; x=ZJsanjiao(A,b)2.追赶法文件ZG_SDJ.mfunction x=ZG_SDJ(a,b,c,f)%a%ba%ca%fbN=length(a);b=b,0;c=0,c;a1=zeros(N,1);b1=zeros(N,1);y=zeros(N,1);x=zeros(N,1);a1(1)=a(1);b1(1)=b(1)/a1(1);y(1)=f(1)/a1(1);for j1=2:N a1(j1)
5、=a(j1)-c(j1)*b1(j1-1); b1(j1)=b(j1)/a1(j1); temp1=f(j1)-c(j1)*y(j1-1); y(j1)=temp1/a1(j1);endj1=N;x(j1)=y(j1);for j1=N-1:-1:1 x(j1)=y(j1)-b1(j1)*x(j1+1);end控制台输入代码： a=2 2 2 2 2; b=-1 -1 -1 -1; c=-1 -1 -1 -1; f=1;0;0;0;0; x=ZG_SDJ(a,b,c,f)3.改良的平方根法文件GJPFG.mfunction GJPFG(A,b)n=length(b);% n% LDLd(1)=
6、A(1,1);for i=2:n for j=1:i-1 sum1=0;for k=1:j-1 sum1=sum1+t(i,k)*l(j,k);end t(i,j)=A(i,j)-sum1; l(i,j)=t(i,j)/d(j);end sum2=0;for k=1:i-1 sum2=sum2+t(i,k)*l(i,k); end d(i)=A(i,i)-sum2;endfor i=1:n l(i,i)=1;enddisp(L); %Lldisp(D); %Dd%LDLx=bx%Ly=by%Lx=invDyxy(1)=b(1);for i=2:n sum3=0;for k=1:i-1 sum3
7、=sum3+l(i,k)*y(k);end y(i)=b(i)-sum3;endx(n)=y(n)/d(n);for i=n-1:-1:1 sum4=0;for k=i+1:n sum4=sum4+l(k,i)*x(k);end x(i)=(y(i)/d(i)-sum4;enddisp(Ly=by);ydisp(Ax=bx);x控制台输入代码： A=2 -1 1;-1 -2 3;1 3 1; b=4;5;6; GJPFG(A,b)4.SOR方法文件SOR_1.mfunction SOR_1(A,b,x0,x_a,w)%x_aif(w=2) error();return;endeps=5.0e-
8、6;D=diag(diag(A); %AL=-tril(A,-1); %AU=-triu(A,1); %AB=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1; %while norm(x_a-x)=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1;if(n=200) disp(Warning: );return;endenddisp(Ax=b);x disp();n控制台输入代码： A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4; b=1;4;-3; x0=0;0;0; x_a=0.5;1;-0.5; w=1.03; SOR_1(
9、A,b,x0,x_a,w) w=1; SOR_1(A,b,x0,x_a,w) w=1.1; SOR_1(A,b,x0,x_a,w)5SOR方法文件SOR_2.mfunction SOR_2(A,b,x0,w,eps)if(w=2) error();return;endD=diag(diag(A); %AL=-tril(A,-1); %AU=-triu(A,1); %AB=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1; %while norm(x-x0)=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1;if(n=200) dis
10、p(Warning: );return;endenddisp(Ax=b);x disp();n控制台输入代码： A=5 2 1;-1 4 2;2 -3 10; b=-12;20;3; x0=0;0;0; w=0.9; eps=10e-4; SOR_2(A,b,x0,w,eps)6此题为证明题，无程序代码。7. 雅克比迭代法文件Jocabi.mfunction x=Jocabi(n)A=hilb(n);x_a=ones(n,1);b=A*x_a;eps=1e-4;n=length(b);N=50;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);for k=1:N sum=0;for i=1:
11、n y(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x(1:n)+A(i,i)*x(i)/A(i,i);endfor i=1:n sum=sum+(y(i)-x(i)2;endif sqrt(sum)eps break; elsefor i=1:n x(i)=y(i);endendend SOR方法文件SOR_3.mfunction SOR_3(n,w)%x_aif(w=2) error();return;endx0=zeros(n,1);A=hilb(n);x_a=ones(n,1);b=A*x_a;eps=1e-4;D=diag(diag(A); %AL=-tril(A,-1); %AU=-tri
12、u(A,1); %AB=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1; %while norm(x-x0)=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1;if(n=2000) disp(Warning: );return;endenddisp(Hx=b);x disp();n控制台输入代码： x=Jocabi(6) x=Jocabi(8) x=Jocabi(10) SOR_3(6,1) SOR_3(6,1.25) SOR_3(6,1.5) SOR_3(8,1) SOR_3(8,1.25) SOR_3(8,1.5) SOR_3
13、(10,1) SOR_3(10,1.25) SOR_3(10,1.5)五 实验结果比拟与分析1.2.3.4.5.9.证：+b，(k=0，1，2)故迭代矩阵B=I-A，其特征值=1-.由|1，|1-|1得0故当0时，更有0，从而有|1，1，迭代格式收敛。7.雅克比迭代法：可以看到用雅克比迭代法求希尔伯特阵方程组的解是病态的，这是因为希尔伯特阵的谱半径大于1，并不收敛。SOR迭代法：松弛因子迭代次数近似解16201.0005 ，1.0045，0.9626，1.0441，1.0285，0.95831.25588 0.9997，1.0134，0.9362，1.0706，1.0230，0.95551.5
14、539 0.9991，1.0211，0.9082，1.1146，0.9899，0.9656n=6,10时，n=8,10时松弛因子迭代次数近似解14260.9970，1.0417，0.8967，1.0155，1.0654，1.0505，0.9991， 0.93091.2511570.9971，1.0353，0.9174，1.0167，1.0408，1.0378，1.0022，0.95081.517010.9980，1.0232，0.9484，1.0045，1.0260，1.0324，1.0037，0.9623n=10,10时松弛因子迭代次数近似解112160.9977，1.0203，0.9797
15、，0.9654，1.0010，1.0300，1.0367，1.0223，0.9924，0.95251.2513790.9985，1.0103，1.0049，0.9503，1.0001，1.0257，1.0347，1.0221，0.9946，0.95701.515200.9993，1.0003，1.0354，0.9171，1.0187，1.0116，1.0405，1.0185，0.9982，0.9588六.学习心得直接法可以求得线性方程组的准确解，但实际计算中会有误差，一般求得近似解。适用于解低阶稠密矩阵方程组与某些大型稀疏矩阵方程组。迭代法是逐步逼近求方程组的近似解，但存在收敛性与收敛速度问题，适用于解大型稀疏矩阵方程组。
