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1、数值分析A试题2007.1第一局部：填空题1051.设,如此_ _2.将分解成，如此对角元为正的下三角阵_3.数据12341.652.724.487.39,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数中的参数：_ _4.方程在上有 个根，假如初值取，迭代方法的收敛阶是5.解方程的迭代方法为_，其收敛阶为_6.设为三次样条函数，如此 _ _7.要想求积公式：的代数精度尽可能高，参数 _ _此时其代数精度为：_8.用线性多步法来求解初值问题其中，该方法的局部截断误差为_，设其绝对稳定性空间是_9.用线性多步法来求解初值问题其中，希望该方法的阶尽可能高，那么 _ _，此时该方法是几阶的：_10.上的四次le
2、gendre多项式为,求积分_其中为常数。第二局部：解答题共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题1.14分方程组其中1用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收敛的的取值X围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。2当时，写出SOR方法迭代矩阵的表达式和SOR方法计算公式的分量形式，并取初值，求3取，用迭代公式，试求使该迭代方法收敛的的最大取值X围，最优=？214分用单步法求解初值问题：（1） 求出局部截断误差以与局部截断误差主项，该方法是几阶的？（2） 求绝对稳定性区间。写出求解过程（3） 用该方法解初值问题时，步长满足条件才能保证方法的绝对稳定性。3
3、14分非线性方程组 ，在矩形域内有解。提示：（1） 取初值，用Newton迭代。（2） 记，并设。试证明不动点迭代法在处具有局部收敛性。414分试构造Gauss型求积公式：其中，权函数构造步骤如下：（1） 构造区间上权函数为的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss点（2） 写出求积系数，并给出求积公式代数准确度的次数（3） 写出求积公式的余项表达式并化简58分设A为n阶非奇异阵，B是奇异阵，求证,其中为矩阵从属X数，为常数，且第二份2004.61. 给定二阶RK根本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间的最优二次平方逼近3. 给定对
4、称正定矩阵3*3，判断SOR收敛性、给定初值算一步，估计5次迭代误差4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度从0积到2 5. 给定两个矩阵均为3*3,将A变化为三对角阵，用QR方法对算一步求6. 1设B奇异，证明,其中为算子X数。2证明最优n次平方逼近函数奇偶性与一样第三份，韩教师2002.11. 单步法1收敛阶2绝对稳定区间3对在时讨论数值扰动的稳定性2.1的逼近 2 确定，判断代数精度，是否高斯3. 给定 (1),证明局部收敛 2 给定，用牛顿算两步4. 含未知数 1求，使存在 2给定，用算L 3给定，判断是否收敛 4给定，SOR算一步5. 给定1算p，2对做QR3算
5、一步QR迭代，得到6. ,证明可逆，并证明第四份，X教师2006年填空：1. 3.1425926是的几位有效数字2. ，求均差3. 公式得代数精度是几阶4. 积分系数的和是多少5. ，求6. ，求的最优一次平方逼近，最优一次一致逼近7. 拉格朗日插值基函数，是相异节点，求简答：1. 高斯积分，使代数精度最高，求2. ，用LU分解求解3. 变换成准上三角阵，用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步，求4. 证明严格对角占优矩阵A可逆，且除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。2002年12月30晚7:20-9:20B卷一.(1)函数f(x)=|x|
6、在-1,1上积分，求在空间span1,x2和spanx,x3上权函数p(x)=1的最优平方逼近函数，并说明(2)对f(x)在-1,1上积分,求A0,A1,A2,x0,x2,使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度二.A=201;02-1;1-11(1)求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵(2)用Givens变换，对A1进展QR分解；(3)假如用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似三.线性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)fi=f(ti,yi)(1)求局部截断误差与主部，方法
7、是几阶收敛(2)用根条件判断收敛性(3)绝对收敛域四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是1和n,迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b求w的X围，使迭代法收敛，并求w使收敛速度最快。五.非线性方程组F(x)=x12-10*x1+x22+8;x1*x22+x1-10*x2+8=0令G(x)=1/10*(x12+x22+8)1/10*(x1*x22+x1+8)(1)假如0x1,x23/2,用x=G(x)迭代，证明G(x)在D中存在唯一的不动点；(2)判断G(x)是否收敛？(3)写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,求出x1六.A，B为n*n阶矩阵，A非
8、奇异，|A-B|1/|A(-1)|证明：(1)B非奇异(2)|B(-1)|=|A(-1)|/(1-|A(-1)|*|A-B|)(3)|A(-1)-B(-1)|=|A(-1)|2*|A-B|/(1-|A(-1)|*|A-B|)填空：1A=1,1/2;1/2,1/3求|A|2和cond2A2J，GS迭代有关3f(x)=x2+3x+2,在2，1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式4一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定大致计算1F(x)=.(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F(x)收敛到其解x*=1,1,1(2)用牛顿法在给定初值x0.下计算两步2显式和隐式欧拉法得局部截断误差
9、和阶数，写出梯形法，与其阶数.3A=4,1,1;1,1,1;1,1,2;b=.(1)housholder变换求A得QR变换(2)用QR变换结果计算Ax=b证明Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB证明|deltaX|/|x|=cond(A)*|deltaB|/|b|1.1求f(x)=|x|,区间-1，1上权函数为(x)=1，在span1,x2上的最优平方逼近20，1上权函数为(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的参数使得代数精度尽可能高2。A=034；300；4011求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵2用givens变换求A1的QR分解3
10、用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似3。不动点迭代Fx=0，Fx=x1+x22-x12+x2等价于x=G(x)，G(x)=-x22x12a证明D=x1,x2T|-0.25=x1,x2=0.25上，G有唯一不动点b写出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1)4.初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1atn=nh，用梯形法求数值解ynbh趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp(-t)c梯形法的局部阶段误差主项d梯形法的绝对稳定区域51A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有关系时x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k)收敛到ATAx
11、=ATb的唯一解2B为n阶方阵，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C假如|B|=1且|x(k)-x(k-1)|=(1-)/证明|x*-x(k)|=6.A对称正定，x=0.5xTAx-xTb,p为非零向量定义()=(x+p),求为何值时()最小证明对此定义下的x*=x+p,有b-Ax*与p正交1、给定2阶RK根本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求yn+1=yn+h/2*(k1+k2)k1=f(tn,yn)k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)2、给定一个分段函数，求全函数为1区间0，2的最优二次平方逼近3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR
12、收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度f(x)从0积到2=r1*f(x1)+r2*f(x2)5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A26、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(|A-B|/|A|)=1/(|inv(A)|A|)，其中|为算子X数(2)证明最优n次平方逼近函数奇偶性与f(x)一样5道大题，假如干小题，卷面成绩总分为701.(1)求f(x)=sqrt(1-x2)在span1,x,x2上，权函数为rou=1/sqrt(1-x2)的最优平方逼近多项式(2)求证高斯型
13、求积公式中的A(k)满足A(k)=p(x)l(x)dx=p(x)l2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式2.(1)Ax=b中A非奇异，如此用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？其中0w2)(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵310;131;013求其cholysky分解3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的和(2)矩阵300;032;023，求其QR分解，计算一步H=RQ4(1)f(x)=x22-x12-x1其准确解为x*=000,写出牛顿法的计算公式sin(x12)-x2;(2)G(x)=x22-x
14、12sin(x12);给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到准确解，并说明原因5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2)，计算其局部阶段误差的阶数假如h=0.1，判断其稳定性(2)R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?pade逼近的计算公式卷子上给了)1.矩阵21求矩阵的谱半径，条件1X数，条件2X数，条件无穷X数01,我做的是2,1,3+sqr(5),3,切比雪夫多项式是T(X),问T(2x-1)的时候取值X围以与权我的计算是0,1,1/sqr(1-(2x-
15、1)2)2.一个内积的定义xf(x)g(x)dx=(g,f)，X围是(0,1)，求x2在0，1上面的一次最优平方逼近。3.要求高斯积分x(1-x)f(x)dx=Aif(xi),求N=1以与N=2时的求积节点以与系数我的答案，随便猜得N=1，节点为0.5+sqr(3)/6,0.5-sqr(3)/6，系数都是1/12还是1/6,记不清楚了N=2时，三个节点0.5-saq(15)/10,0.5,0.5+sqr(15)/10，三个系数1/36.1/9.1/36，不知道对不对。4.LU分解解一个三阶矩阵5.牛顿迭代法6.QR分解以与HOUSEHOULDER变换7.现性多步法8.单步法求证二阶相容并且绝对
16、稳定1、填空：a、有效数字，3.1425926近似pi小心，从小数点后第三位就不一样了b、均差f=x3+x-1求f1,1,1，f0,1,2,3，f0,1,2,3,4c、simpson公式代数精度3d、Newton-Cotes积分系数Ck的和这个就是1啦，呵呵e、A=1,2;0,1，求普半径，1，2，无穷条件数f、x2的最优一次平方逼近和一致逼近g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk(n+1)从0到n求和2、高斯积分x2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).积分限-1，13、LU分解求方程组的解4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵用第一种QR位移迭代算一步，求A25、
17、证明严格对角占优矩阵A可逆，且A(-1)的无穷X数小于1/min|aii|-除对角线外的|aij|6、第九章的作业题P480T6(数值分析根底高等教育关治、陆金甫)填空：1.3.14215是pi的几位有效数字据说是32.f(x)=x3+x-1,求f1,1,16,f0,1,2,31,f0,1,2,3,403.simpson的代数精度是几阶34.N-C的系数是k，求系数和15.12;01谱半径1条件1X数9条件2X数32sqr(2)条件无穷X数96.-1,1求f(x)=x2的最优一次平方逼近1/3最优一次一致逼近1/27.X0,X1.Xn是相异节点求西格码lk0Xk(n+1)=(-1)nX0X1X
18、n计算题1积分符号x2f(x)dxAf(x0)+Bf(x1)+A(x3)，-1,1,使代数精度最高求A,B，x0,x1,x2A=7/25,B=8/75X0=-sqr(5/7)x1=0x2=sqr(5/7)2121;223;-1-30b=032LU分解接x1,-1,13.201;02-1;1-11householder变换成准上三角阵用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步证明A是严格对角占优阵，证明A可逆书上定理|A-1|u-,问哪个是稳态的哪个不是矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond判断多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去
19、高频分量，细网格消去低频分量判断f(x)=f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x32-x2-x3临界点临界值正如此点正如此值不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵判断就记得这么多了大题：4,1,1;1,2,1;1,1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进展lanczos分解数据是回忆的，不一定对一个函数(x)，表达示不记得了问(1)证明x=(.,.)是其解送分的，代入就行(2)写出Newton法迭代式很容易写(3)写出当x0=(.,.)时用newton法的x1总体很常规，不难A=4,1;1,1;1,2)问(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，送分的4.证明题:z
20、m属于krylov空间Km(r0,Ar0,A2r0.)，Lm=AKm(Ar0,A2r0,A3r0.)，证明r0-Azm,v)=0,v属于Lm|r0-Azm|=min|r0-Az|其中z属于Km比拟简单，书上有的5一题变分的，要求证明两个问题等价，好似是d4u/dx4=f(x)，变分为一个边值和一阶边值为零的问题具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难可用分部积分算算应该可以做出来1。单步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn)1)Tn+1,收敛阶2)绝对稳定区间3)对y=-5y+2,y0=1(好似是，在h=0.2,0.5,1时讨论
21、数值扰动的稳定性2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2)确定A,x1,x0,x2,判断代数精度，是否高斯3。给定F(x)1xk+1=xk-1/4F(x),x*=(1,1,1)T,证明局部收敛2给定x0,用牛顿算两部4。Ax=bA含未知数a1)求a,使LLT存在2给定a,用cholesky算L3)给定a,判断jacobi,gauss_siedel是否收敛4给定a,sor算一步5。给定A,1)househoulder算p，A1=pAp2)givens对A1做QR3)算一步QR迭代，得到A26。|B|1,证明I-B可逆，并证明|I-B|1/1-|
22、B|1.(1)sin(x)的pade(3*3)逼近(2)确定求击公式的待定参数，使代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为Gauss型2.给出一多步线性方法，要求作出(1)该方法误差主项和阶的判定(2)相容性判定(3)是否满足根条件(4)是否A稳定3.给定矩阵，要求作上Hessenberg阵和根本QR分解4.给一非线性方程组，要求(1)写出相应的牛顿法迭代公式(2)自己再设计一种迭代方式，并判定其局部收敛性5.给一矩阵A，含有参数a，要求(1)用J法的充要条件求a的X围(2)假如a0，写出SOR法的分量计算公式，并求最优松弛因子6.压缩影射原理中不动点的存在性和唯一性证明1.1)求sin
23、(x)的pade(3*3)逼近R332)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为Gauss型(区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-)+Bf(0)+Cf()2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+hf(n)+f(n+2)1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶2)是否相容3)是否满足根条件,是否收敛4)是否A稳定3.给定矩阵A,B.51-2340A=-321B=4414130021)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵2)对B做一次QR分解4.给一非线性方程组3(X1)2-(X2)2=03(X1)(X2)2-(X1)
24、3-1=0此方程组在D0.4=X1=0.6;0.5=X2=1上有准确解X*要求1)写出相应的牛顿法迭代公式,给定X(0)=(0.55,0.9)T,求X(1)2)X*=(1/2,3(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性5.给一矩阵A和向量b4-2a2A=-24-1b=6a-1451)求使J法迭代收敛的a的X围(注意使用最简单的收敛充要条件)2)假如a0,写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt6.|G(x)-G(y)|=L|x-y|0L0时，迭代收敛5道大题，假如干小题，卷面成绩总分为701.(1)求f(x)=sqrt(1-x2)在span1,x,x2上，权函数
25、为rou=1/sqrt(1-x2)的最优平方逼近多项式(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=p(x)l(x)dx=p(x)l2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式2.(1)Ax=b中A非奇异，如此用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？其中0w2)(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵310;131;013求其cholysky分解3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的和(2)矩阵300;032;023，求其QR分解，计算一步H=RQ4(1)f(x)=x22-x12-x1其准确解为x*=000,写出牛顿法的计算公式sin(x12)-x2;(2)G(x)=x22-x12sin(x12);给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到准确解，并说明原因5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2)，计算其局部阶段误差的阶数假如h=0.1，判断其稳定性(2)R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?pade逼近的计算公式卷子上给了)
