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1、讲授容备注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15 证明：当时,证 已知,只有时,等号成立在此式两端同时取上的积分,得再次取上的积分,得 第三次取上的积分,得所以 上式再在上的积分,得即 再在上的积分,得例16 设是上连续的凸函数试证：,有证 令,则同理,令,则从而注意到与关于中点对称,又为凸函数,所以另一方面,由1式及的凸性例17 设函数在上递增试证：函数为凸函数证在上递增,所以,为凸函数例18 设,在上连续,且,在上有定义,并且有二阶导数,试证：证I利用积分和将区间等分,记,为凸函数由詹禁定理,取,即 令,得证II 利用公式记 则 注意 , 在上式中,令,然后两边乘以 ,得在
2、上取积分即 其中4.5 不等式一、不等式及不等式1不等式设为任意实数,则 不等式其中等号当且仅当与成比例时成立证1判别式法上式是关于的二次三项式,保持非负,故判别式证II配方法因此,不等式成立等号成立当且仅当,证III利用二次型即关于的二次型,非负定,因此即 2不等式设在上可积,则若在上连续,其中等号当且仅当存在常数,使得时成立不同时为零3不等式的应用例1 已知,在上连续,为任意实数求证：证 第一项应用不等式：同理 1+2：例2 设在上有连续的导数,试证：证 令则 由,知因此, 例3 设在上有连续的阶导数,且求证：其中证 先证明的情况此时设在上有连续的导数,下证 令 由不等式：两端同时积分两边同时开方：对一般情况,令例4 设,在上连续,不恒为零,有正的下界记 试证： 证只需证明存在先证单调增即再证有界因为在上连续,所以 使得故 既然单调有界,存在极限二、平均值不等式基本形式：对任意个实数,恒有即几何平均值算术平均值其中等号成立当且仅当例5 设正值函数在上连续试证：证 由条件知在上可积,将等分,作积分和3学时几何解释：方法III可推广不等式的积分形式称为不等式第二项积分值大于零
