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1、摘要 此题是求某工厂产品的生产批量与单位本钱的关系,要用到数学建模中常见的“统计回归模型。由于客观事物内部关系的复杂性与人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立符合机理规律的数学模型，那么我们需要收集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。对于此题，已为我们提供了数据，并认为生产量在500以内时，单位本钱对生产批量服从一种线性关系，在超过500时服从另一种线性关系。因此我们通过分阶段讨论并分别用MTALAB数学软件找出一个最为理想的线性回归模型。对此我们使用了MTALAB数学软件的regress命令求解，通过观察散点图来大体估计其服从的线性关系，再套用不同线性关系并从中找到
2、最为理想并且简便的线性关系。我们把生产批量在500以内的记为，对应的单位本钱记为，超过500的记为，单位本钱记为。依此用MTALAB画出其散点图，随后，我们对模型进展了可行分析，对模型进展了恰当的评价，我们认为该模型在不考虑其他因素影响的条件下可以推广。1、 问题重述下表给出了某工厂产品的生产批量和单位本钱元的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位本钱对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位本钱明显下降。希望你构造一个适宜的回归模型全面地描述生产批量与单位本钱的关系。生产批量65034040080030060072048044054075
3、0单位本钱二、根本假设假设1：单位本钱只受生产批量的影响，不考虑可能存在的其它因数的影响。假设2：在整个生产过程中，其单位本钱不随时间和生产的方式的改变。假设3：根据题中已经给出的数据，假定所有数据都真实可靠。三、符号说明符号意义回归方程系数回归方程系数回归方程系数单位本钱生产批量生产批量小于500的局部生产批量大于500的局部四、问题分析 记生产批量为，单位本钱为。由于从散点图可以明显地发现，在500以内时，对服从一种线性关系，超过500时服从另一种线性关系，此时明显下降。所以考虑从两个方面着手，建立模型：1.分段建立模型：即在500以内时，建立模型1。超过500时，建立模型2。然后综合模型
4、1和2建立回归模型。 2.以所有数据为整体，建立模型(3)。再次结合题意，考虑以500为分段点，并引入虚拟变量建立模型4。五、模型的建立与求解1.分段建立模型： 记生产批量时，单位本钱为，生产批量时，单位本钱为。为了大致地分析与的关系，首先利用表中表中数据分别作出对和对的散点图。从图1可以发现对和对成线性关系。所以分别建立线性模型：模型1：模型2：5.2 模型的求解：将x1和y1的数据分别输入MATLAB：得到模型1的回归系数估计值与其置信水平、检验统计量,F,p的结果见表1.参数参数估计值参数置信区间4.5743 6.5983-0.0056 -0.0006表格 1然后，对数据进展残差分析：图
5、 3 残差分析图1从结果可以看出，应将第二个点去掉后再进展拟合：得到模型1的回归系数估计值与其置信水平、检验统计量,F, p的结果见表2.参数参数估计值参数置信区间5.0902 ， 6.0596-0.0044 ， -0.0020表格 2可见R的平方非常接近1.说明模型较准确。于是得到模型1：将和的数据分别输入MATLAB：得到模型1的回归系数估计值与其置信水平、检验统计量,F,p的结果见表3.参数参数估计值参数置信区间5.4316 ， 8.8000-0.0096 ， -0.0047表格3于是得到模型2：对数据进展残差分析：由图可知，数据无异常点。综合模型1和2可得：或由于数据点本来就很少，模型
6、2中去掉一数据点，所以模型不具说服力。2. 模型3：假如直接考虑全组数据，对整个11组数据直接拟合。绘出散点图图 5 y对x的散点图将x和y的数据分别输入MATLAB计算：得到模型1的回归系数估计值与其置信水平、检验统计量,F,p的结果见表4.参数参数估计值参数置信区间6.4845 7.6713-0.0081 -0.0060表格 3,即单位本钱y的96.3097%能由模型确定，p远小于0.05，因而模型是可用的。所以模型3为：图 6 残差分析图3残差分析显示没有异常点，模型比拟准确。3. 模型4：从中模型3中我们已经可以发现整组数据本身就服从置信度较高的线性关系。但是题目却仍然告诉我们：生产批
7、量在500以内时，单位本钱对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系。于是我们开始考虑再引入一个虚拟变量A。,并参加一项再次进展拟合。得到结果：参数参数估计值参数置信区间5.0368 7.2874-0.0074 -0.0020-0.0076 0.0003模型为：。5.3 结果的分析综合上面的拟合结果我们采用模型4，它既能严密结合题意对数据进展分开讨论，且能高达97.63%。是所有模型中准确度最高的。我们带回数据对它进展检验后也发现这个模型的计算结果几乎等于的结果，再次说明了结果的准确性。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价本文优点：逻辑性强，过程简洁，通俗易懂，让人一
8、目了然。本文缺点：将切割进展了理想化分析，与实际情况有一定偏差。 6.2 模型的推广可以通过此题得多变量最优化模型对于一些规划问题，均可用此题的模型来求解。七、附录程序1：两段直线，x小于500时： x1=340,400,300,480,440; y1=4.45,4.52,4.65,4.04,4.20; X=ones(size(x1) x1 ; b,bint,r,rint,stats=regress(y1,X)b =bint =r =rint =stats = stepwise(X,y1,1,2) rcoplot(r,rint)两段直线，x大于500时： x2=650,800,600,720,
9、540,750; y2=2.48,1.38,2.96,2.18,3.10,1.50; X=ones(size(x2) x2 ; b,bint,r,rint,stats=regress(y2,X)b =bint =r =rint =stats = stepwise(X,y2,1,2) rcoplot(r,rint)程序2：一条直线 x1=650,340,400,800,300,600,720,480,440,540,750; y1=2.48,4.45,4.52,1.38,4.65,2.96,2.18,4.04,4.20,3.10,1.50; X=ones(size(x1) x1 ; b,bint
10、,r,rint,stats=regress(y1,X)b =bint =r =rint =stats = stepwise(X,y1,1,2) rcoplot(r,rint)参加虚拟变量A后的程序： y=2.4800 4.4500 4.5200 1.3800 4.6500 2.9600 2.1800 4.0400 4.2000 3.1000 1.5000; x= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750150 0 0 300 0 100 220 0 0 40 250; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b =bint =r =rint =stats = stepwise(x,y,1,2,3)
