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1、一、计算题与证明题1, , , 并且 计算解：因为, , , 并且所以与同向，且与反向因此，所以2, , 求解： 1 2得所以 4向量与共线, 且满足, 求向量的坐标解：设的坐标为，又如此 1又与共线，如此即所以即 2又与共线，与夹角为或整理得 3联立解出向量的坐标为6点, 求线段的中垂面的方程解：因为,中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，如此由得化简得这就是线段的中垂面的方程。7向量, , 具有一样的模, 且两两所成的角相等, 假如, 的坐标分别为, 求向量的坐标解：且它们两两所成的角相等，设为如此有如此设向量的坐标为如此 1 2所以 3联立1、2、(3)求出或所以向量的坐标为或8点,
2、, , ，(1) 求以, , 为邻边组成的平行六面体的体积(2) 求三棱锥的体积(3) 求的面积(4) 求点到平面的距离解：因为，,所以1是以它们为邻边的平行六面体的体积2由立体几何中知道，四面体三棱锥的体积3因为，所以，这是平行四边形的面积因此(4)设点到平面的距离为，由立体几何使得三棱锥的体积所以1求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程解：与平面垂直的平面平行于轴，方程为 (1)把点和点代入上式得 (2) (3) 由2，3得, 代入1得 消去得所求的平面方程为2求到两平面和距离相等的点的轨迹方程解；设动点为，由点到平面的距离公式得 所以3原点到平面的距离为120, 且在三个坐标轴上的截距之
3、比为, 求 的方程 解：设截距的比例系数为，如此该平面的截距式方程为 化成一般式为 又因点到平面的距离为120，如此有求出 所以，所求平面方程为5两平面与平面相互垂直，求的值 解：两平面的法矢分别为，由，得 求出6四点, , , , 求三棱锥中 面上的高解：四点,如此 由为邻边构成的平行六面体的体积为 由立体几何可知，三棱锥的体积为 设到平面的高为如此有 所以 又 所以， 因此，7点在轴上且到平面的距离为7, 求点的坐标 解：在轴上，故设的坐标为0 0 z，由点到平面的距离公式，得 所以如此那么点的坐标为8点在轴上且到点与到平面的距离相等, 求点的坐标。 解：在轴上，故设的坐标为，由两点的距离
4、公式和点到平面的距离公式得 化简得 因为 方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。1求经过点且与直线和都平行的平面的方程解：两直线的方向矢分别为，平面与直线平行，如此平面的法矢与直线垂直由，有 1由，有 2联立1，2求得,只有又因为平面经过点，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程解：设所求直线的方向矢为，直线与平面平行，如此，有 1直线与直线相交，即共面如此有所以 2由1，2得，即取，得求作的直线方程为3求通过点与直线的平面的方程解：设通过点的平面方程为即 (1)又直线在平面上，如此直
5、线的方向矢与平面法矢垂直所以 (2)直线上的点也在该平面上，如此 3由1，2，3得知，将作为未知数，有非零解的充要条件为即，这就是求作的平面方程。4求点到直线的距离解：点在直线上，直线的方向矢,如此与的夹角为所以因此点到直线的距离为5取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，如此有交点坐标为，由直线方程得，求得7求过点且与两平面和平行直线方程解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，如此直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为将点代入直线的标准方程得8一平面经过直线即直线在平面上：，且垂直于平面，求该平面的方程解：设求作的平面为 (1)直线在该平面上，如此有点在平面上，
6、且直线的方向矢与平面的法矢垂直所以 (2) (3)又平面与平面垂直，如此它们的法矢垂直所以 (4)联立(2),(3),(4)得代入1式消去并化简得求作的平面方程为3求顶点为，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)的圆锥面的方程解：设轨迹上任一点的坐标为，依题意，该圆锥面的轴线与平面 垂直，如此轴线的方向矢为，又点与点在锥面上过这两点的线的方向矢为，点与点的方向矢为，如此有与的夹角和与的夹角相等，即化简得所求的圆锥面方程为4平面过轴, 且与球面相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程解：过轴的平面为 1球面方程化为表示球心坐标为到截面圆的圆心的距离为由点到平面的距离公式为化简得解关于A的一元二
7、次方程地求出分别代入(1)式得消去得所求平面方程为或5求以, 直线为中心轴的圆柱面的方程 解:如习题三.5所示,圆柱面在平面上投影的圆心坐标为,半径为,所以求作的圆柱面方程为6求以, 经过点的圆柱面的方程 解:设以轴为母线的柱面方程为 (1) 因为点,在柱面上,如此有 (2) (3) 如此 (4)联立(2),(3),(4)求出,代入(1)式得所求的柱面方程为7根据的不同取值, 说明表示的各是什么图形解:方程 (1)时,(1)式不成立,不表示任何图形;时,(1)式变为,表示双叶双曲线;时,(1)式变为,表示单叶双曲线;时,(1)式变为,表示椭球面;时,(1)式变为,表示母线平行于轴的椭圆柱面;时,(1)式变为,表示双曲柱面;时,(1)式变为,不表示任何图形;1, , , 并且 计算 解:, , , 且 如此. 所以3点, 求线段的中垂面的方程解：点, ，设的中垂面上任一点的坐标为，由两点间的距离公式得 化简得4平面与三个坐标轴的交点分别为且的体积为80, 又在三个坐标轴上的截距之比为, 求的方程解：设在三个坐标轴上的截距之比为，如此平面与三个坐标轴的交点为所以， 因此， 平面的方程为5两平面与平面相互垂直, ,求的值 解：平面， 平面， 与垂直，如此，所以 即 所以6取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，如此交点坐标为，代入直线方程为 1 2 1+2得，而原点不在直线上，故，所以
