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1、. .运用APOS理论进展概念教学的实践研究一、 关于APOS理论的概述数学概念的获得有两种主要方式：概念形成和概念同化概念形成要求学生由具体事实概括出新概念，利用学生在实际经历中大量的生动具体事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。而概念同化那么直接向学生展示定义，利用原有认知构造中有关知识理解新概念，比拟强调数学知识间的逻辑构造。而从课堂教学来看，有时存在重结论轻、重灌输轻引导，学生在概念过程的体验不够充分的情况下，就进展大量的概念稳固练习；有时又存在“情境过度使得概念停留在具体、直观、视觉化的阶段，没有进展逐级升华和抽象，学生无法建立和构造关于新概念的认识构造，无
2、法直达概念本质。近年来，美国数学家杜宾斯基等人提出一种建构主义学说APOS理论。它将数学概念的获得分为“活动过程一对象一图式四个阶段：(1) 活动阶段(Action)：亲身体验感受概念的直观背景和概念间的关系，通过操作活动理解概念的意义；(2) 过程阶段Process：对“操作进展思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进展描述和反思，抽象出概念所特有的性质；(3) 对象阶段Object：认识概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其到达精致化，成为一个具体的对象；(4) 图式阶段Scheme：不仅反映概念的定义及符号，还要建立与其它概念、规那么、图形的联系，形成综合的心理图式。它强调在数学概
3、念学习中，首先处理的数学问题要有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，在活动中学生在已有的知识和经历根底上，通过思维运算和反省抽象，对概念具有的直观背景和形式定义进展必要的综合，从而到达建构数学概念的目的。APOS理论真实地反映了学习数学概念的思维过程，它不仅指出学生的概念学习是建构的过程，还指明了建构的层次；既强调了概念形成对过程的体验，还强调了概念建构的最终结果-在脑海里建立综合的心理图式；既重视学生的概念学习的特点，又关注了概念之间的逻辑体系。APOS理论解释了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论。二、运用“APOS理论进展课例研究与实践XX教育七年级第一学期?平面
4、直角坐标系?：在众多的初中数学概念中，平面直角坐标系具有典型意义，它是沟通数与形的平台，同时从数学知识的逻辑构造上来说，它是数轴从一维到二维的延伸。它是一个比拟抽象的规定性的概念，对于规定性定义要讲清两点：一是规定的必要性，即为什么要规定平面上的点的表述：二是规定的合理性和有序是数对一一对应，即这样规定的道理，要表达这个概念在现实世界中的具体模型，沟通数学和生活间的联系。结合初一学生特点，运用APOS理论的指导，进展了如下教学尝试：5有志自万事4书天者勤贵3标宝奋可来2敏里成才大1的竞打库想ABCDEn 活动阶段：创设问题情景，在活动中思考问题大局部数学概念的形XX要经历一个反省和抽象的过程，
5、而反省的根底，就是活动，我们通过学生熟悉而感兴趣的对象提供外部刺激，让学生进展感知转换和反省。1我当破译小高手如图1、请破译以下密码：A5 B5 C4 E5 B1 C2有智者事竟成2、请编制密码：天才来自勤奋(B4 D2 E3 C5 D4 C3)2我做影院效劳生 1、你会在电影院内找到电影票上所指的位置，对号入座吗？2、在电影票上，“4排3号与“3排4号是同一个座位吗，为什么？3我帮教师解决问题 开家长会时，你能向家长介绍你的座位在教室中的位置吗以门为参照？【设计意图】首先通过三个情境问题，让学生从自己切身的生活实际和经历中“感悟坐标思想的存在，从“密码游戏中初步感悟一个点的位置在一定的规那么
6、下需要两个要素来表示；再通过“影院座位问题感悟点的位置在一定的规那么下对应两个有序实数.最后通过“学生的座位问题进一步感悟点的位置描述需要有一个参照物或者“基准点.n 过程阶段：体验抽象直角坐标系概念的过程通过前面的活动，学生从中不断反思，在大脑内部形成一种稳定的心理建构，学生认识到对平面上的点的表示需要在一个规那么下描述方向和大小两个要素，但是还是需要一定的刺激，来进一步激发学生进展思维内化和压缩，在头脑中进展描述和反思，于是我们进一步设计了一下问题：4假设教师站在教师第三排的走廊中间如图的五星位置，先请四位同学图2中红色线上的四个圆点用自己的语言表示自己的位置在教师的什么位置？相对位置的同
7、学该怎么说清楚？5再请两位同学图2中的另外两个圆点用自己的语言表示自己的位置在教师的什么位置？相对位置的同学该怎么说清楚？6回忆之前学过的有关数轴的内容数轴的三要素以及数轴上的每一个点都对应着一个实数值，那么如何表示平面上一个点呢？ 【设计意图】通过三个问题的设计，让学生从一条直线上的点的描述到进一步思考到底如何用数学的方式表达平方面中的一个点？4让学生体验在同一直线上的点的描述需要考虑方向和大小两方面，启发学生在脑海里联想到数轴。同时逐步把“座位问题以门为基准点，改为以教师为基准点，同时所有同学的位置都是对称的，有助于学生思考其中的区别和联系。5通过对数轴的回忆搭脚手架， 结合先前活动的经历
8、(有关横排、竖列的经历) ，抽象得出平面上确实定位置的过程也是寻找、设置两条数轴(两个方向)的过程。而两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程，而这一过程也就是形成平面直角坐标系的过程。将平面指教坐标系这一概念的形成过程归结为两条数轴的出现过程，这是一种全新的视角，通过操作过程和这个阶段的思维，学生头脑处于愤悱状态，平面直角坐标系的概念呼之欲出。这样的目的是结合学生的生活经历，创造学生展开思考的环境，给予学生充分表达自己看法的时机，让他们在自主思考、自由交流中，在与同学观点交锋中，撞击出思维的火花。n 对象阶段：对平面直角坐标系形式化、工具性的定义通过前面的体验，表示平面上的一个点，需要在一定的规
9、那么下规定基准点，用两个有序的实数对进展表达，因此提出把将平面直角坐标系作为一个新的对象来认识，对其进展形式化、工具性地表达，这是对象阶段应该到达的目标。运用直角坐标系的性质来解决这一问题，可以到达逐步认识新概念的目的。因此，这一阶段教师可以继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在意义 (平面内的每一个点与两个数相对应，即一个数对)，和表做规定的合理性等 。 例1：口答1点A的横坐标为3，纵坐标为2，那么A点的位置可以表示为 ， (2)点B的纵坐标为-4，横坐标为1，那么B点的位置可以表示为 ， 练习1：以下四个图形中，建立直角坐标平面正确的选项是 例2：1以下坐标分别对应右图中的哪个点：0
10、，3；0，-3；-2，0；4，02在同一直角坐标系内，根据以下各点的坐标画出各点：3，-3； -2，-3 ；-3，3；3，3；练习2：写出如下图直角坐标平面内各点的坐标：练习3：在平面直角坐标系中找出点0，3； 0，-2；-2，0；4，0，观察点的特征和并描述坐标轴上点的特征；思考：1点 A0，2、B -2，0、C 2，2，联结可得到ABC，求此三角形的面积。2点 A0，2、B -2，0、在x轴上找出点C，联结后使得ABC为等腰三角形，写出点C的坐标.【设计意图】：例1和练习1用于加固平面直角坐标系的概念；例2和练习2通过点和有序实数对互译，体会数形间对应关系；练习3让学生体会平面直角坐标系和
11、数轴之间的关系教师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，对学生拓宽思考问题的方式大有好处，明确此事物和它事物的区别与联系，也是认识事物的一种方式；思考题解决坐标描点，外尝试让学生数形结合解决面积问题。而这一切都将学生的动手尝试放在教师讲解之前，也是考虑到知识内容本身的难易程序和学生已有的知识背景的。 n 建立综合心理图式图式阶段通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立如下的心理图式：现实生活中直角坐标系思想的应用 (例如进电影院找座位等) 、直角坐标系的作用(刻画平面上点的位置) 、平面直角坐标系规定的合理性生活中的位置描述：参照物、两个纬度的方向以及距离分别对应于原点、两条数轴的正方向
12、以及单位长度，在直角坐标系中确定点的过程及其与数轴的区别和联系等等。在课后小结阶段，运用关键性的几个问题帮助学生进一步的反思，形成概念图：为什么要引入平面直角坐标系？它是如何规定的？这样规定的合理性何在？它和以前所学的数轴有什么关系？规定了以后对我们解决问题的思路有什么变化？在现实生活中的应用又如何？最后指出，平面直角坐标系的引入，沟通的几何和代数，在数学史上，有着非常重要的意义。三、反思与探讨真正的理想的数学概念学习，数学概念学习应上升到抽象层面，使概念的形成的“活动、过程向对象阶段转化，从而到达“图式阶段，才能掌握数学知识的本质与内在。在理解和运用APOS理论时，有几个需要注意的问题和大家
13、探讨：1努力创设适合学生概念开展的现实情境 形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲身感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情境中去发现数学；同时概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对活动阶段(Action)花大力气和许多时间，而对其他阶段草草收场，这是不符合APOS理论的，甚至于是舍本逐末的。因此情境问题的设计要注意以下几个方面 ：提醒数学概念的现实背景和形成过程；适合学生的学习平台，使学习活动能顺利展开；适当的问题数量，使学生能进展充足的活动体验；注意趣味性，引起全体学生的学习兴趣。2“过程阶段在概念建立中的价值及把握杜宾斯基认为,建立概念不能跨越“过程阶段. 对“过程,我们可
14、以有三种理解: 将数学概念从现实生活中抽象出来本身需要一段过程; 将思考的结果,再以“过程的形式呈现,这就有利于学生分析问题、解决问题; APOS理论最大的创新在于过程阶段，对“操作进展思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进展描述和反思，抽象出概念所特有的性质.这样可以使学生对数学概念也有一个新的认识,从而改变对整个数学的看法.同时也恰好是这一个阶段最难掌控和把握，怎样设计“本原性问题驱动学生从操作上升到对象，以及如何有效地组织学生讨论思考互动，使学生处于“愤悱状态，使得下定义“水到渠成，对教师教材的理解能力、问题设计能力、教学掌控能力都提出了很高的要求，在本节课中，把“座位问题的参照物改
15、为教室中间的教师，以及恰当时机的复习数轴都是精心设计的，在整个过程中起到了“承上启下的作用，是整节课的“关键性事件.3对象 、图式阶段是教学中循环上升的提醒概念后，对象阶段是由概念衍生开来的性质探索、运算、证明等，图式阶段是对前面三个阶段的一个总体把握，但这并不等同于说一定在历经前所有阶段之后，才进入图式阶段。对象阶段与图式阶段可以往复序进、循环上升的。在教学过程中，这两个阶段交替进展，在学生进展概念认识、处理的同时，教师可以引导学生尝试评价概念。从这个角度来看，体验对象阶段和图式阶段是可以同时存在于一个时期的。 4值得探讨的问题 APOS 理论是基于建构主义理论而提出的,那么是不是所有的概念
16、都需要建构？所有的概念教学都经历如此四个过程？对于这种理论和“外乡化的概念教学四个阶段“情境创设、概念形成、概念获得、建立概念简联系之间有何区别和练习？还有对于“过程阶段的理解似乎连杜宾斯根本人在华师大讲座时都无法说清，那么我们能否通过一定量的案例研究进展清晰阐述，并进展文本编码？或者通过案例解释？对于一个新的理论，我们抱着学习、认同的态度去接纳它,一定会汲取到其中营养，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，到达认识数学思想和本质的目的参考文献：1顾伶沅主编 ?数学学习的心理根底与过程? XX教育 20093. 王兄 汤服成?概念图及其在数学学习中的现实意义?数学教育学报，2004.34. 李晓云 ?概念教学中的“动场建构刍议? 中国数学教育 2009.7. v .
