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1、初三数学竞赛解答本题可以使用科学计算器一填空题每小题10分,共80分1、已知AB为圆O的直径,AB=1,延长AB到点C,使得BC=1,CD是圆O的切线,D是切点,则的面积为_.解答：依据切割线定理可以得到：.因为可以得到因此有.因为AB为圆O的直径,所以时直角三角形.依据勾股定理有.而2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球,从中任取3个小球,则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为_.解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为种,因为没有小球的数字不同,这样这三个球的数字和有35和结果.要使用和为奇数.应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数,也就是从1,3,5,7四个数
2、中取三个,取法为第二种,一个奇数,两个偶数,也就是从1,3,5,7的四个数中取1个,从2,4,6三个数中取两个,取法有.这样和为奇数一共有种.从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为3、实数满足,则的值为_.解答：因为上述两个相减,得到：.因为所以有.上述相加得到所以.因此4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍,则这三个素数为_解答：设这三个素数为.则有.因为23是素数,从,可以得到23能够整除三个素数的积.从而可以得到其中有一个素数必为23.假设这样就有因为为素数,所以得到或这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23.5. 如图,圆与圆外切于点P ,从圆上点A 作圆的切线AB ,
3、B 是切点,连接AP 并延长,与圆交于点C 已知圆、圆的半径分别为2、1,则_解答：做如图所示的辅助线.可以得到为此设,则应用切割线定理有：所以.6、如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,MON 的两边分别是射线y = x与x轴正半轴点A,B是MON 内的两个定点,点P、Q分别是MON 两边上的动点,则四边形ABQP 周长的最小值是_解答：本题主要就是应用对称.应为四边形ABQP ,其中一个边AB为定值.要求四边形ABQP 周长的最小值,只要求另外三边的最小值.从对称可以得到,.四边形另外三边的最小值为依据两点间距离公式有.,从而最小值为.7. 不定方程的整数解共有_组.解答：设,所以从,可以
4、得到所以.这样是方程的两个根,并且根为整数.所以.因此有.同时要保证为整数.这样就有,当时,当时,方程为方程没有整数解.当时,方程为方程没有整数解.当时,方程为方程,有整数解为2,4.所以或当时,方程为方程,有整数解为4,4.所以整数解共有4组8. 设是给定的正实数,是给定的大于1 的整数,实数满足,则的最大值_.解答：因为有这样的一个结论,因为而所以最大值为二、解答题第9、10 题,每题15 分,第11、12 题,每题20 分,共70 分9. 如图,在ABC中,BC = a,CA = b,ACB = 60,ABD是正三角形,P是其中心,求CP 的长度解答：分析作D点关于AB的对称点.则为等边
5、三角形,这样就有,已知ACB = 60所以四点共圆.这个圆过P点.连接AP,BP.因为P是正三角形ABD的中心,所以因为A,C,B,P四点共圆,也就是四边形ACBP为圆内接四边形,应用圆内接四边形托勒密定理可以得到所以.10. 在1,2,2015 这2015 个正整数中选出个数,使得其中任意两个不同的数的和都不是50 的倍数,求k 的最大值解答：因为所有的整数,被5除余数为0,1,2,3,4,47,48,49.共50中情况.而.下面吧从1,2,2015这2015个数被50除,余数的情况列表如下.余数121524252648490第1行1215242526484950第2行51526574757
6、69899100第3行101102115124125126148149150第40行19511952199819992000第41行200120022015第1行取1到25这25个数,取50这个个数,任意两个数的和都不能被50整除.第2行取51到74这24个数,和第一组取得的数组成新的数集,则这新的数集任意两个数的和不能被50整除.以后每行都取前24个数,取到第40行位置.最后一行取15个数.这样正整数集合最大数值个数为这样集合为这样式样50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数.因此的最大值为977.11. 已知ABC的三边长均为正整数,周长为35,G 和I 分别为ABC的重心和
7、内心,且GIC = 90,求边AB的长度解答：本题有一定难度,但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的.由题意知道GIC = 90,并且CI平分,出现角平分+垂直的特征.这样可以构造出三角形.为此延长GI和反向延长GI.很容易得到为等腰三角形,也就是过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线.设的内接圆的半径为.由面积法得到：也就是所以因为G为三角形ABC的重心,可以得到用面积法有：化简为也就是,因为为正整数所以得到,则为此为方程的两个根.有.因此当时,方程为所以此时.因此.当时,方程为没有整数解.因此.12. 设是正整数,不是4的倍数,求证：不是完全平方数证明：,当为同奇数,或者同偶数时,可以得到一定是4的倍数.已知不是4的倍数,所以中一个为奇数,一个为偶数.假设.因为因为能够被8整除.所以此时被8除余5.因为要是完全平方数,奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数.假如,因为从而能够被8整除,所以此时被8除余5.因为要是完全平方数,奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数.综合可以得到：不是完全平方数6 / 6
