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1、 微积分几何复习题 本科第一部分：练习题库与答案一、填空题第一章1已知，则这两个向量的夹角的余弦=2已知，求这两个向量的向量积(-1,-1,-1) 3过点且与向量垂直的平面方程为X-Z=04求两平面与的交线的对称式方程为5计算 6设，求 0 7已知，其中，则8已知，则9已知，求，其中，10已知（为常向量），求11已知，（为常向量），求12已知，则第二章13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设有曲线，当时的切线方程为17设有曲线，当时的切线方程为第三章18设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果是 一一的 ，则称参数曲面是简单的19如果曲线族和曲线
2、族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网(坐标网;易;3分钟)20平面的第一基本形式为，面积元为21悬链面的第一类基本量是,22曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是23正螺面的第一基本形式是24双曲抛物面的第一基本形式是 25正螺面的平均曲率为 0 （正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）26方向是渐近方向的充要条件是或27两个方向和共轭的充要条件是或28函数是主曲率的充要条件是29方向是主方向的充要条件是30根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是沿方向的法曲率31旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32高斯方程是，因加尔吞方程为，33用表示为 34测地曲率的几何意义是曲面上的曲线在点
3、的测地曲率的绝对值等于在点的切平面上的正投影曲线的曲率35之间的关系是36如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 37测地线的方程为38高斯-波涅公式为39如果是由测地线组成，则高斯-波涅公式为 二、单项选择题第一章40已知，则这两个向量的积为（ C ）（积；易；2分钟）A 2 B C 0 D 141求过点且与向量平行的直线的方程是（ A ）（直线方程；易；2分钟）A B C D 42已知，则混合积为（ D ）（混合积；较易；2分钟）A 2 B C 1 D 43.已知，则为（ A ）（导数；易；2分钟）(，)(-，)(，)(，-)44已知，为常数，则为（ C ）（导数；易；2分钟） 上述
4、为常向量45.已知，求为（ D ）（微分；较易；2分钟）第二章46圆柱螺线的切线与轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)平行垂直有固定夹角有固定夹角47设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量以下表达错误的是（C ）为单位向量48直线的曲率为（ B ）（曲率；易；2分钟） 49关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）（伏雷公式；较易；2分钟） ，为的旋转角 50对于平面曲线，“曲率恒等于”是“曲线是直线”的（ D ） （曲率；易；2分钟)充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件充要条件51以下论述不正确的是（ D ）（基本向量；易；2分钟）均为单位向量 52对于空间曲线，“
5、曲率为零”是“曲线是直线”的（ D） （曲率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件 D充要条件53对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）（挠率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D充要条件54在点的切线与轴关系为（ D ）垂直平行成的角成的角第三章55椭球面的参数表示为（C ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 56以下为单叶双曲面的参数表示的是（D ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 57以下为双叶双曲面的参数表示的是（A ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 58以下为椭圆抛物面的参数表示的
6、是（B ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 59以下为双曲抛物面的参数表示的是（C ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 60曲面在点的切平面方程为（B ）（切平面方程；易；2分钟）A B C D 61球面的第一基本形式为（D ）（第一基本形式；中；2分钟）A B C D 62正圆柱面的第一基本形式为（ C）（第一基本形式；中；2分钟）A B C D 63在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（B ）（弧长；中；2分钟）A B C D 64设为中的2维正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B） A B C D 65以下正确的是（ D）（因加尔吞变换；较易；2分
7、钟）A B C D66以下正确的是（ C）（因加尔吞变换；较易；2分钟）A B C D 67以下正确的是（A）（因加尔吞变换；较易；2分钟）A B C D 68高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）（高斯曲率；易；2分钟）A 极小曲面 B 球面 C常高斯曲率曲面 D平面第四章B 69（第一基本形式；易；2分钟）A 1 B 2 C 0 D -1B 70（第一基本形式；易；2分钟）A B C D A 71（克氏符号；较易；2分钟）A B C D A 72曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于A B C D 3B 73当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（维尔定理、测地曲率；中；4分钟）A
8、 B C D A 74如果测地线同时为渐进线，则它必为（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟）A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75在伪球面上，任何测地三角形的角之和（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于 B 小于 C 大于 D 不能确定三、多项选择题第一章76.若为向量函数，则以下论述正确的是（ AD ） （导数；易；4分钟）77为常向量，为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）（积分的性质；中；4分钟） 第二章78以下曲线中为正则曲线的有（ACDE）。（曲线的概念；易；4分钟）， ， ， ，79以下曲线中是正则曲线的有（ABCDE）。（曲线的概念；易；4分钟）， ， ， 8
9、0以下式子正确的是（ABCE）（伏雷公式；中；4分钟） 第三章81曲面在点的（AD ）（切平面、法线；中；4分钟）A 切平面方程为B 切平面方程为C 法线方程为D 法线方程为E 法线方程为82正螺面的（AC ）（切平面、法线；中；4分钟）A 切平面方程为B切平面方程为C 切平面方程为D法线方程为E 法线方程为83以下二次形式中，（ ABD）不能作为曲面的第一基本形式（第一基本形式；易；4分钟）A B C D E 84一般螺面的第一类基本量是（ BCD）（第一基本量；易；4分钟）A B C D E 85以下曲面中，（ BCD ）是旋转常高斯曲率曲面（常高斯曲率曲面；易；4分钟）A 正螺面 B 平
10、面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章ABC 86对于曲面上的正交坐标网，测地曲率（设曲线的切方向与的夹角为）A B C D E 87曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD（测地线的概念；中；4分钟）A 满足方程的曲线B满足的曲线C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线 D满足的曲线E 满足的曲线四、表达题第三章88曲面。解设是初等区域，如果存在一个连续一一映射使得，则称是一曲面，而叫的参数表示89坐标曲线。解曲面，的像叫曲线，的像叫曲线，曲线和曲线都叫坐标曲线90第一基本形式。解称二次型（其中，）为曲面的第一基本形式而、叫曲面的第一类基本量91蕴量。解由曲面的第一类基本量
11、所决定的量叫曲面的蕴量92第二基本形式。解称二次型（其中，）为曲面的第二基本形式而，为曲面的第二类基本量93解若在点有，则称点为曲面的椭圆点94法曲率。解给定曲面上一点处的一个切向量，则点沿方向的法曲率定义为95主曲率。解使法曲率达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率96高斯曲率。解曲面的两个主曲率之积叫曲面的高斯曲率97极小曲面。解平均曲率的曲面叫极小曲面五、计算题第二章98求旋轮线的一段的弧长（弧长；中；5分钟）解旋轮线的切向量为，则它的一段的弧长为：99求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量（基本向量；中；10分钟解由题意知，在原点时有。又，所以有。100圆
12、柱螺线为。（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）求基本向量，；求曲率和挠率；解由题意有，又由公式有由一般参数的曲率公式与挠率公式有，。第三章101求正螺面的切平面和法线方程（切平面、法线；中；5分钟）解，切平面方程为法线方程为102求球面上任一点处的切平面与法线方程解，球面上任意点的切平面方程为即，法线方程为即103求旋转抛物面的第一基本形式（第一基本形式；中；5分钟）解参数表示为，104求正螺面的第一基本形式（第一基本形式；中；5分钟）解，105计算正螺面的第一、第二基本量（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）解，106计算抛物面的高斯曲率和平均曲率（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟）
13、解设抛物面的参数表示为，则，107计算正螺面的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟）解直接计算知，第四章108求位于正螺面上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率（测地曲率、维尔定理；中；15分）解因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得由正交网的坐标曲线的测地曲率得六、证明题第二章109证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角（切向量、夹角；较易；5分钟）证对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：，则有：，故夹角为。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角110证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线（曲率；中；10分钟）证明若和对一切线性相关，则存在恒不同时为0的
14、使。则。又，故。于是该曲线是直线111证明圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交（主法线、夹角；中；10分钟）证明由题意有。由知。另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直112证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点（法平面；较易；5分钟）证明由题意可得，则任意点的法平面为将点（0,0,0）代入上述方程有左边右边，故结论成立113证明曲线为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。（挠率；中；10分钟）证明设，整理比较两边同次项可得，则有，即曲线为直线，且有第三章114求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直（坐标曲线、夹角；5分钟）证明设正螺面的参数表示是，则，故正螺面上的坐标曲线互相垂直115
15、证明马鞍面上所有点都是双曲点（点的分类、第二基本量；中；15分钟）证明参数表示为，则，故马鞍面上所有点都是双曲点116如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的（脐点；难；15分钟）证明设球面的参数表示为，则，故球面是全脐的117证明平面是全脐的（脐点；易；5分钟）证明设平面的参数表示为，则，故平面是全脐的118设有曲面，试证曲面的第二基本形式与函数的二阶微分成比例（第二基本形式；较难；10分钟）证明设曲面的参数表示为，则，119证明曲面的所有点为抛物点（点的分类、第二基本量；中；15分钟）证明记曲面
16、的参数表示为，则，曲面的所有点为抛物点120求证正螺面是极小曲面（平均曲率；中；15分钟）证明，故正螺面是极小曲面121证明极小曲面上的点都是双曲点或平点（点的分类、平均曲率；中；5分钟）证明，当时，极小曲面的点都是平点；当时，极小曲面的点都是双曲点第四章122证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零（高斯曲率；难；10分钟）证明在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形根据已知条件，曲边四边形的外角和为由高斯-波涅公式有，若在曲面上的某点处，不妨设，则在点的邻近，从而对于围绕点的充分小的曲边四边形有，得出矛盾，所以，即曲面为可展曲面123求证半径为的球面上测地三角之和为其中为测地三角形的面积（高斯-波涅定理；难；证明由高斯-波涅公式有对于半径为的球面有，所以，其中为测地三角形的面积124若曲面的高斯曲率处处小于零，则曲面上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线证明设若存在所述闭测地线，它所围成的曲面部分为，则由高斯-波涅公式因为，则，又后两项均为0，得出矛盾所以不存在所述测地线19 / 19
