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1、-公式1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(*+*,y+y).a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减a=(*,y) b=(*,y) 则 a-b=(*-*,y-y).4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a.当0时,a与a同方向；当0时,a与a反方向；当=0时,a=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数,都有a=0.注：按定义知,如果a=0,
2、则=0或a=0.实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当1时,表示向量a的有向线段在原方向0或反方向0上伸长为原来的倍；当1时,表示向量a的有向线段在原方向0或反方向0上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab).向量对于数的分配律第一分配律：(+)a=a+a.数对于向量的分配律第二分配律：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：如果实数0且a=b,则a=b.如果a0且a=a,则=.3、向量的的数量积定义：两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a,b定义：两
3、个向量的数量积积、点积是一个数量,记作ab.假设a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b；假设a、b共线,则ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=*+yy.向量的数量积的运算律ab=ba交换律；(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；a+b)c=ac+bc分配律；向量的数量积的性质aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a
4、=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作ab.假设a、b不共线,则ab的模是：ab=|a|b|sina,b；ab的方向是：垂直于a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系.假设a、b共线,则ab=0.向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律ab=-ba；ab=ab=ab；a+bc=ac+bc.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD是没有意义的.向量的三角形不等式1、a-ba+ba+b；当且仅当a、b反向时,左边取等号；当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b.当且仅当a、b同
5、向时,左边取等号；当且仅当a、b反向时,右边取等号.平面向量测试题一、选择题: 1设点P3，-6，Q-5，2，R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为。A、-9 B、-6 C、9 D、6 2=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为。A、 B、C、D、3设点A1，2，B3，5，将向量按向量=-1，-1平移后得向量为。A、2，3 B、1，2 C、3，4 D、4，74假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，则ABC是。A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60，则| +b|
6、等于。A、 B、 C、 D、6O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则。A、 B、C、 D、7O是ABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ABC的。A、重心 B、垂心 C、心 D、外心8设、b、均为平面任意非零向量且互不共线，则以下4个命题：(1)( b)2= 2b2(2)| +b| -b| (3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是。A、1 B、2 C、3 D、4 9在ABC中，A=60，b=1，则等于。A、 B、 C、D、10设、b不共线，则关于*的方程*2+b*+ =0的解的情况是。A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解
7、C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解二、填空题：.11在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=，则=_12ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则用a，b表示为_. 13有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝_方向行驶。14如果向量与b的夹角为，则我们称b为向量与b的“向量积，b是一个向量，它的长度| b|=| |b|sin，如果| |=3, |b|=2, b=-2，则| b|=_。三、解答题：15向量= , 求向量b，使|b|=2| |，并且与b的夹角为。10分16、平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。(1)
8、求证：( -b); (2)假设|k +b+ |1 (kR), 求k的取值围。12分17本小题总分值12分) e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-e1-8e2, =3e1-3e2,假设A、B、D三点在同一条直线上，数的值. 18*人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳. (1)假设他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进.实际前进的速度为多少.(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进.实际前进的速度为多少.参考答案一、选择题：1. D. 设R(*, -9), 则由得(*+5)(-8)=-118, *=6. 2. C. |b| , | |
9、= . 3. A. 平移后所得向量与原向量相等。4A由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ABC是直角三角形。5D. 6. B 7. B. 由，得OBCA，同理OABC，O是ABC的垂心。8A(1)(2)(4)均错。9B由，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13, .10B- =*2+*b，根据平面向量根本定理，有且仅有一对实数和，使- =+b。故=*2, 且=*,=2，故原方程至多有一个实数解。二、填空题 11. 12. 13.
10、 与水流方向成135角。 14。b=| |b|cos, , | b|=| |b|sin 三、解答题15由题设, 设b= , 则由,得., 解得 sin=1或。当sin=1时，cos=0；当时，。故所求的向量或。 16(1) 向量、b、的模均为1，且它们之间的夹角均为120。,( -b).(2) |k +b+ |1, |k +b+ |21,k22+b2+ 2+2k b+2k +2b1,k2-2k0,k2。17解法一：A、B、D三点共线与共线，存在实数k,使=k又=(+4)e1+6e2. 有e1+e2=k(+4)e1+6ke2有解法二：A、B、D三点共线与共线，存在实数m,使又=(3+)e1+5e2(3+)me1+5me2=e1+e2有18、解：(1)如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为图图由勾股定理知|=8 且在RtACO中，COA=60,故此人沿与河岸成60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时. (2)如图,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，在RtAOD中，. DAO=arccos. 故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为4公里/小时. z.
