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1、 有理数一、学习目标：l 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；l 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；l 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；l 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：l 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；l 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、学习策略：l 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到容系统化和应用的灵活性。四、
2、知识框架：5、 知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（1）整数与分数统称_按定义分类： 按符号分类： 注：正数和零统称为_；负数和零统称为_正整数和零统称为_；负整数和零统称为_.（2） 认识正数与负数：正数：像1，1.1，2008等大于_的数，叫做_.负数：像-1，-1.1，-，-2008等在正数前面加上“”（读作负）号的数，叫_注意：_都大于零，_都小于零.“0”即不是_，也不是_.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其_意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其_意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向_走3米；若+6
3、米表示上升6米，则-2米表示_；+表示零上，-则表示_ .（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数（二）数轴（1）概念：规定了_ 、_和_的直线注：_、_、_称为数轴的三要素，三者缺一不可.单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法与常见错误分析画一条水平的_；在这条直线上适当位置取一实心点作为_
4、：确定向右的方向为_，用_表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数特别地，0的相反数是；若，则，反之亦然 .（2）相反数的性质：代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0相反数必须出现，不能单独存在例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，5是的相反
5、数，而单独的一个数不能说是另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开例如+3与3互为相反数，而+3与2虽然不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的_相等这两点是关于_ 对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式注意a不一定是注意：当a0时，a0(正数的相反数是数)；当a=0时，aO(0的相反数是)；当a0时，aO (负数的相反数是)互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为多重符号的
6、化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部；一个正数前面有个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.（四）绝对值（1）绝对值的代数意义与几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与_的距离.数a的绝对值记作 .注意：取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.绝对值具有性，取绝对值的结果总是.任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：
7、5，符号是，绝对值是.（2）字母a的绝对值的分类或或（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：计算两个负数的.比较这两个的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.例如：若2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总左边的数（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而；（4）两数比较大小，可按符号情况分类：（二）有理数的加减法（1）有理数加法法则同号两数相加，取相同的，并把绝对值.绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的.一个数同0相加，仍得.
8、（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置，不变.即a+b=b+a(加法律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法律）（4）有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为形式.带分数可分为与两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.相同的数可以先结合在一起.（5）有理
9、数减法法则减去一个数，等于，即a-b=a+()（6）有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律与技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11
10、，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab=（乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 abc=（乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有
11、带分数，应先化为，便于约分；若有小数与分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律与其逆用，也可简化计算.（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。即ab=a (b0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）倒数与有理数除法乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。注意： 互为倒数，则；互为负倒数，则。反之亦然.有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方 （1）
12、概念：求个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在中，叫做，叫做.（2）含义： 中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有相乘.例如：表示33333，(-3)表示（-3）（-3）（-3）（-3）（-3），特别注意负数与分数的乘方，应把底数加上括号. 如(-2)表示相乘，而-2则表示7个2相乘的积的。当n为奇数时，(-a)=；而当n为偶数时，(-a)=.注意： 负数的奇次幂是，负数的幂是正数。正数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0次幂都是.（3）“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：
13、（3）=，+（3）=.有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=，而（3）（2）6=.有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（3）=，（3）=.（4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方与开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算
14、_括号里的，再算括号里的，最后算括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、有效数字和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=就是科学记数法表示数的形式. 又如：10200000=也是.（2）有效数字：从一个数的左边第一个数字起，到止，所有数字都是这个数的。如：0.00027有个有效数字：_;1.2027有个有效数字：.注意：万=，亿=6、 经典例题1、类型一：正数与负数的意义例1一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走
15、6km，走-4.5km，走0km的意义各是什么？思路点拨： 正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示运动 .0表示原地不动，0表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义. 解析：总结升华：举一反三：变式1博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?解析：变式2某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：10、5、0、8、3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？ 解析：2、类型二：有理数的分类例2把以下各数填入相应的括号：+6，0.
16、35，-1，-7.82，0，97，.整数集合： ；非负集合： ；分数集合： ；负数集合： .思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“”，“非负数”不要仅理解为正数，既不是正数，也不是负数，属于“非负”围的数；负数包括和.解析：总结升华：举一反三：变式（1）最小的正整数是：最大的负整数是；最小的整数是；最小的正数是；最大的负数是；最小的有理数；绝对值最小的有理数是。（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是；一个数的倒数等于它本身，这个数是；一个数的平方等于它本身，这
17、个数是；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是；一个数的平方等于它的相反数，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是。解析：3、类型三：多重符号的化简例3、化简以下各数：思路点拨：多重符号的化简是由“”的个数来定，若“-”个数是个时，化简结果为正；若 “-”个数是奇数个时，化简结果为。解析：总结升华：举一反三：变式1变式2说出以下各式的意义，然后化简：(1)-(-3) (2)+-(+5)；(3)-(-6)（共n个负号）4、类型四：有理数的大小比较例4在数轴上画出表示以下各数的点，并用“ ”连接起来； 思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的
18、位置顺序比较大小，再用“ ”连接起来. 解析：总结升华：举一反三：变式利用绝对值比较以下有理数的大小 . （1）-0.6，-60 （2）思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而，比较分数大小，一般要化成同的分数来比较.解析5、类型五：绝对值的概念例5若+|2b+5|=0,计算2a-b的值. 思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。解析：总结升华：举一反三：变式1若，化简：解析：变式2代数式的最小值为。解析： 变式3a，b在数轴上的位置如图（1）化简：。（2）比较大小：；。解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例6已知a、b互为倒
19、数，c、d互为相反数，且，那么的值为。思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为，互为倒数的两数之积为.解析：总结升华：举一反三：变式已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，b的形式，且x的绝对值为2，求的值解析：7、类型七：有理数的混合运算例7、计算思路点拨：此题有五种运算，因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算_，接着算_法，再算_法注意除法运算，要把除法转化为_解：总结升华：举一反三：变式计算以下各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解析：8、类型八：科学计数法，有效数字与近似数例8某市2008年的国民生产总值约为
20、333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，则2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）元。解析：总结升华：举一反三：变式1国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，81.2亿这个数用科学记数法表示为立方米。答案： 变式2精确到万位为：,有效数字为：.答案：9、类型九：规律探索例9观察以下式子： 请你将猜想到的规律用自然数n表示出来思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边是，右边是. 此题考查的知识点是有理数的乘方运算能力与归纳的思想方法。解：总结升华：举一反三：变式1观察以下等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为解析：变式2（1）在一列数：2，中，第n个数（n为正整数）是。（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，它的第2009个数是（ ）A B C D解析：变式3观察以下各式：猜想：。答案：变式4小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345输出那么，当输入数据是8时，输出的数据是；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是。解析：变式5观察：，将以上三个等式两边分别相加得：。猜想并写出：。直接写出以下各式的计算结果：。探究计算：。答案： 13 / 13
