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1、巧构单位圆 妙解三角题 单位圆就是以原点为圆心，1为半径的圆，其方程为.在解三角函数问题时，如果能够抓住题目的结构特征，充分挖掘隐含条件，寻找条件和结论与单位圆的关系，进行合理的构造，创设单位圆的解题意境，常常能为某些三角函数问题的解决，开辟许多巧解妙证.下面就用单位圆求解若干三角函数问题做些探讨.ABOxy图11. 求值例1、求的值.解:原式=,考虑点A与点B,则所求的值即是直线AB的斜率,又因点A、B在圆上，如图1，可得原式=.例2、已知求的值.解：设则.直线与单位圆的交点是，.点评：2 求角例3、已知且求.解：由展开得，设，则点在直线上，又在圆上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离
2、不大于1，即化简得，同理得.3 求围例4、设为任意实数，且满足条件：求的取值围.MNQOxy图2解：如图2所示，点都在单位圆上，令弦MN的中点为Q，则Q点的坐标为即，OQMN，OQ为弦MN的弦心距，|OQ|1，即解得的取值围是.4 证明等式例5、已知：求证：.此题是一道三角名题，其证法颇多，且各具特色。但如果认真分析题设和和结论的结构特征，联想构造单位圆，则有能得到下面别具一格的证法.证明：设A则A、B两点均在单位圆上.过B作圆的切线将点A代入切线方程，知A点坐标满足方程，A、B两点重合， 即 .5 证明不等式例6、设为任意实数，且满足MNQOxyP图3求证：.证明：设点， 则M、N、P都在单位圆上，如图3，设弦MN的中点为Q，则Q即，OQMN，OQ为弦MN的弦心距，由|OQ|1，得即 同理可得 把相加，得，即，.3 / 3
