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1、-求数列前N项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的根底上，或分解为根本数列求和，或转化为根本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。1. 公式法等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，特别要注意对公比的讨论。其他公式：1、 2、3、例1，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 利用常用公式 1例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， 利用常用公式 当 ，即n
2、8时，2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设.得 错位相减再利用等比数列的求和公式得：例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减练习：求：Sn=1+5*+9*2+(4n-3)*n-1 解：Sn=1+5*+9*2+(4n-3)*n-1两边同乘以*，得* Sn=*+5 *2+9*3+(4n-3)*n-得，1-*Sn=1+4*+ *2+*3+ -4
3、n-3*n当*=1时，Sn=1+5+9+4n-3=2n2-n当*1时，Sn= 1 1-* 4*(1-*n) 1-* +1-4n-3*n 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例5 求的值解：设.将式右边反序得.反序 又因为 +得 反序相加89 S44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例6 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得分组当a1时， 分组求和当时，例7 求数列n(
4、n+1)(2n+1)的前n项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得Sn分组 分组求和 练习：求数列的前n项和。解：5. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解裂项如：1 23 45(6) 例9 求数列的前n项和.解：设裂项则 裂项求和 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 裂项 数列bn的前n项和裂项求和 例11 求证：解：设裂项裂项求和 原等式成立 练习：求1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。解：6. 合并法求和针对一些特殊的数列，将*些项合并在
5、一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179找特殊性质项Sn cos1+ cos179+ cos2+ cos178+cos3+ cos177+cos89+ cos91+ cos90 合并求和 0例13 数列an：，求S2002.解：设S2002由可得找特殊性质项S2002合并求和 5例14 在各项均为正数的等比数列中，假设的值.解：设由等比数列的性质 找特殊性质项和对数的运算性质 得合并求和 107
6、. 利用数列的通项求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于找通项及特征 分组求和例16 数列an：的值.解：找通项及特征 设制分组 裂项分组、裂项求和 练习：求5，55，555，的前n项和。解：an=5 9(10n-1)Sn =5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + + 5 9(10n-1)=5 910+102+103+10n-n= 10n1-9n-10以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式构造，使其能进展消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它的根本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。. z.
