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1、不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a,bR);(2)作商法 (aR,b0)2、不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb,bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN)可开方性ab0(nN)a,b同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质:ab,ab0;a0bb0,0c.;0a*b或a*b0b0,m0,则,(bm0);0)4、“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像a*2b*c0(a0)的根有两相异实根*1,*2(*10(a0)的解集*|*2*|*|*Ra*2b*c0)的
2、解集*|*1*0或(*a)(*b)0型不等式的解法不等式解集ab(*a)(*b)0*|*b*|*a*|*a(*a)(*b)0*|a*b*|b*a口诀:大于取两边,小于取中间选择题:设abB.C|a|bD.解析由题设得aab0,有不成立若a,b,c,则()AabcBcbaCcabDbac解析易知a,b,c都是正数,log8164b;log62510241,bc,即cba若a,bR,若a|b|0Ba3b30Ca2b20Dab0解析由a|b|0知,a|b|,当b0时,ab0成立,当b0时,ab0成立,abb成立的充分而不必要的条件是()Aab1Bab1Ca2b2Da3b3解析由ab1,得ab1b,即
3、ab,而由ab不能得出ab1,使ab成立的充分而不必要的条件是ab1.已知0aNBMNCMND不能确定解析0a0,1b0,1ab0,MN0已知实数a,b,c满足bc64a3a2,cb44aa2,则a,b,c的大小关系是()AcbaBacbCcbaDacb解析cb44aa2(a2)20,cb.又bc64a3a2,2b22a2,ba21,baa2a1(a)20,ba,cba.设a2,A,B,则A,B的大小关系是()AABBAB2已知a1,a2(0,1),记Ma1a2,Na1a21,则M与N的大小关系是()AMNCMND不确定解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(
4、a11)(a21),又a1(0,1),a2(0,1),a110,a210,即MN0,MN.已知*R,m(*1)(*21),n(*)(*2*1),则m,n的大小关系为()AmnBmnCmnDm0.则有*R时,mn恒成立已知a,b,c满足cba,且acacBc(ba)0Ccb20解析由cba且ac0知c0,由bc得abac一定成立设ab1,c;acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()ABCD解析由不等式性质及ab1知,又c,正确;构造函数y*c,cb1,acb1,cbc1,logb(ac)loga(ac)loga(bc),知正确设a,bR,则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必
5、要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由(ab)a20a0且ab,充分性成立;由abab0,当0ab时/(ab)a20,必要性不成立设(0,),0,则2的取值*围是()A(0,) B(,)C(0,) D(,)解析由题设得02,0,0,20,集合B*|2*2,则AB等于()A(1,3) B(,1)C(1,1) D(3,1)解析依题意,可求得A(1,3),B(,1),AB(1,1)已知集合P*|*2*20,Q*|log2(*1)1,则(RP)Q等于()A2,3B(,13,)C(2,3 D(,1(3,)解析依题意,得P*|1*2,Q*|1*3,则(RP)Q(2,3已知不等式a*
6、2b*10的解集是,则不等式*2b*a0的解集是()A(2,3) B(,2)(3,)C.D.解析由题意知,是方程a*2b*10的根,所以由根与系数的关系得,解得a6,b5,不等式*2b*a0即为*25*60,解集为(2,3)若一元二次不等式2k*2k*0对一切实数*都成立,则k的取值*围为()A(3,0 B3,0)C3,0D(3,0)解析2k*2k*0对一切实数*都成立,则必有解之得3k0,则a的取值*围是()A(0,4) B0,4)C(0,) D(,4)解析任意*R,a*2a*10,则必有或a0,0af(1)的解集是()A(3,1)(3,) B(3,1)(2,)C(1,1)(3,) D(,3
7、)(1,3)解析由题意得或解得3*3.已知函数f(*)则不等式f(*)*2的解集为()A1,1B2,2C2,1D1,2解析作出函数yf(*)和函数y*2的图像,如图,由图知f(*)*2的解集为1,1若集合A*|a*2a*10,则实数a的取值*围是()Aa|0a4Ba|0a4Ca|0a4Da|0a4解析由题意知a0时,满足条件,a0时,由得0a4,0a4已知不等式*22*30的解集为A,不等式*2*60的解集是B,不等式*2a*b0的解集是AB,则ab等于()A3B1C1D3解析由题意,得A*|1*3,B*|3*2,AB*|1*2,则不等式*2a*b0的解集为*|1*0,且a1,Ploga(a3
8、1),Qloga(a21),则P与Q的大小关系是_解析由题意可知a1.(a31)(a21)a2(a1)0,a31a21,loga(a31)loga(a21),即PQ.设abc0,*,y,z,则*,y,z的大小关系是_解析令a3,b2,c1,则*,y,z,故zy*.设f(*)a*2b*,若1f(1)2,2f(1)4,则f(2)的取值*围是_解析由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4,53f(1)f(1)10,故5f(2)10.若关于*的不等式m(*1)*2*的解集为*|1*2*的解集为*|1*0且*1*2a210,故1a0恒成立,即g(k)(*2)k(*24*4)0,
9、在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0,即解之得*3.已知函数f(*)*2m*1,若对于任意*m,m1,都有f(*)0成立,则实数m的取值*围是_解析作出二次函数f(*)的草图,对于任意*m,m1,都有f(*)0,则有即解得m0恒成立,则实数a的取值*围是_解析*1,)时,f(*)0恒成立,即*22*a0恒成立即当*1时,a(*22*)g(*)恒成立而g(*)(*22*)(*1)21在1,)上单调递减,g(*)ma*g(1)3,故a3,实数a的取值*围是a|a3若0a0的解集是_解析原不等式即(*a)(*)0,由0a1得a,a*.已知关于*的不等式0的解集是,则实数a_.解析0(*1)(
10、a*1)0,依题意,得a1,f(2),则实数a的取值*围是_解析f(*3)f(*),f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0,1a.若不等式*2a*20在区间1,5上有解,则实数a的取值*围是_解析设f(*)*2a*2,由题知:a280,所以方程*2a*20恒有一正一负两根,于是不等式*2a*20在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0,即a.若关于*的不等式a*b的解集为,则关于*的不等式a*2b*a0的解集为_解析由已知a*b的解集为,可知a0,且,将不等式a*2b*a0两边同除以a,得*2*0,即*2*0,解得1*,故不等式a*2b*a0的解集为.不等式a28b2b
11、(ab)对于任意的a,bR恒成立,则实数的取值*围为_解析因为a28b2b(ab)对于任意的a,bR恒成立,所以a28b2b(ab)0对于任意的a,bR恒成立,即a2ba(8)b20恒成立,由二次不等式的性质可得,2b24(8)b2b2(2432)0,(8)(4)0,解得84.解答题:设函数f(*)m*2m*1.若对于*1,3,f(*)0,又m(*2*1)60,m.函数y在1,3上的最小值为,只需m即可,m的取值*围是.设二次函数f(*)a*2b*c,函数F(*)f(*)*的两个零点为m,n(m0的解集;(2)若a0,且0*mn0,即a(*1)(*2)0.当a0时,不等式F(*)0的解集为*|
12、*2;当a0的解集为*|1*0,且0*mn,*m0,f(*)m0,即f(*)b0,则下列不等式中一定成立的是()AabB.CabD.解析取a2,b1,排除B与D;另外,函数f(*)*是(0,)上的增函数,但函数g(*)*在(0,1上递减,在1,)上递增,当ab0时,f(a)f(b)必定成立,即abab,但g(a)g(b)未必成立,故选A.设a0,不等式ca*bc的解集是*|2*1,则abc等于()A123B213C312D321解析ca*b0,*.不等式的解集为*|2*1,abca213.已知a,b,c满足cba且ac0,则下列选项中不一定成立的是()A.0C.D.0解析cba且ac0,c0,
13、0,0,但b2与a2的关系不确定,故不一定成立已知函数f(*)a*2b*c(a0),若不等式f(*)0(e是自然对数的底数)的解集是()A*|*ln 3B*|ln 2*ln 3C*|*ln 3D*|ln 2*ln 3解析法一依题意可得f(*)a(*3)(a0),则f(e*)a(e*3)(a0,可得e*3,解得ln 2*0的解集是(1,3),则不等式f(2*)0的解集是()A(,)(,)B(,)C(,)(,)D(,)解析f(*)0的两个解是*11,*23且a0,由f(2*)3或2*1,*.若关于*的不等式*22a*8a20)的解集为(*1,*2),且*2*115,则a等于()A.B.C.D.解析
14、由*22a*8a20,得(*2a)(*4a)0,不等式的解集为(2a,4a),即*24a,*12a,由*2*115,得4a(2a)15,解得a.已知函数f(*)*2a*b2b1(aR,bR),对任意实数*都有f(1*)f(1*)成立,当*1,1时,f(*)0恒成立,则b的取值*围是()A1b2Cb2D不能确定解析由f(1*)f(1*)知f(*)图像的对称轴为直线*1,则有1,故a2,由f(*)的图像可知f(*)在1,1上为增函数*1,1时,f(*)minf(1)12b2b1b2b2,令b2b20,解得b2.设函数f(*)*21,对任意*,),f()4m2f(*)f(*1)4f(m)恒成立,则实数m的取值*围是_解析依据题意得14m2(*21)(*1)214(m21)在*,)上恒成立,即4m21在*,)上恒成立当*时,函数y1取得最小值,所以4m2,即(3m21)(4m23)0,解得m或m.已知函数f(*)*2a*b(a,bR)的值域为0,),若关于*的不等式f(*)c的解集为(m,m6),则实数c的值为_解析由题意知f(*)*2a*b2b.f(*)的值域为0,),b0,即b,f(*)2.又f(*)c,2c,即*,得26,c9.