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1、16勾股定理拓展练习(含解析)一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1（4分）（1999*）如图，在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则AB=（）A4B5C2D2（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30，则这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对3（4分）如图，过ABC的顶点A的直线DEBC，ABC、ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）A10B14C16D24二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）4（5分）如图，P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知ABC=45，
2、APC=60，则ACB的度数是_5（5分）（1997）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB的度数是_6（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是_cm27（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，则PD2等于_8（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则SAEF=_cm29（5分）如图，已知A=B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，
3、PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=_10（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，则另一条直角边的长是_三、解答题（共4小题，满分53分）11（12分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD212（13分）如图：在ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQAD于Q求证：ADCBEA；BP=2PQ13（14分）如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使EAF=45，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形14（14分）如图，在RtABC中，A
4、=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2第1章勾股定理2010年拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1（4分）（1999*）如图，在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则AB=（）A4B5C2D考点：解直角三角形专题：计算题；压轴题分析：分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可解答：解：如图，延长AD，BC交于点E，则E=30在CED中，CE=2CD=6（30锐角所对直角边等于斜边一半），BE=BC+CE=8，在AEB中，AE=2AB（30锐角所对直角边等于斜边一半）AB2+BE2=AE2，即AB
5、2+64=（2AB）2，3AB2=64，解得：AB=故选D点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算2（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30，则这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对考点：三角形分析：如图，分AB是30角所对的边AC的2倍和AB是30角相邻的边AC的2倍两种情况求解解答：解：如图：（1）当AB是30角所对的边AC的2倍时，ABC是直角三角形；（2）当AB是30角相邻的边AC的2倍时，ABC是钝角三角形所以三角形的形状不能确定故选D点评：解答本题关键在于已知30的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角
6、形的形状不能确定3（4分）如图，过ABC的顶点A的直线DEBC，ABC、ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）A10B14C16D24考点：勾股定理；平行四边形的性质分析：BE为ABC的角平分线，EBC=ABE，CD为ACB的角平分线，则ACD=DCB，因为BCDE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度解答：解：由分析得：EBC=ABE，ACD=DCB；根据平行线的性质得：DCB=CDE，EBC=BED；所以ADC=ACD，ABE=AEB，则AD=AC，AB=AE；所以DE=AD+A
7、E=AB+AC=6+8=14；故选B点评：本题考点：平行四边形的性质两直线平行，则内错角相等然后根据角度相等可得出ADC和ABE为等腰三角形所以DE的长度等于AB和AC的和二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）4（5分）如图，P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知ABC=45，APC=60，则ACB的度数是75考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理专题：计算题分析：根据三角形内角和定理求出DCP=30，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，ACD=45从而求出ACB的度数解答：解：过
8、C作AP的垂线CD，垂足为点D连接BD；PCD中，APC=60，DCP=30，PC=2PD，PC=2PB，BP=PD，BPD是等腰三角形，BDP=DBP=30，ABP=45，ABD=15，BAP=APCABC=6045=15，ABD=BAD=15，BD=AD，DBP=4515=30，DCP=30，BD=DC，BDC是等腰三角形，BD=AD，AD=DC，CDA=90，ACD=45，ACB=DCP+ACD=75，故答案为：75点评：此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题5（5分）（1997）如图，在四边形
9、ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB的度数是135考点：勾股定理的逆定理分析：由已知可得AB=BC，从而可求得BAC的度数，再根据已知可求得AC：CD：DA=2：3：1，从而发现其符合勾股定理的逆定理，即可得到ADC=90，从而不难求得DAB的度数解答：解：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，AB=BC，BAC=ACB=45，AB：BC：AC=2：2：2=1：1：，AC：CD：DA=2：3：1，AC2+AD2=CD2DAC=90，DAB=45+90=135点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力6（5分）如图，四边形A
10、BCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是144cm2考点：勾股定理的逆定理；勾股定理分析：连接AC，根据勾股定理可求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理得，ADC也是直角三角形，分别求得两个三角形的面积即可得到四边形ABCD的面积解答：解：连接ACAB=6cm，BC=8cm，ABC=90AC=10cmCD=24cm，DA=26cmAC2+CD2=AD2ACD=90SABC=68=24cm2SACD=1024=120cm2四边形ABCD的面积=24+120=144cm2点评：此题主要考查学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运
11、用能力7（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，则PD2等于18考点：勾股定理分析：可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算解答：解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18点评：此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量
12、关系至关重要8（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则SAEF=cm2考点：翻折变换（折叠问题）分析：由翻折的性质知DF=DF，CE=AE，且CE=BCBE，故由勾股定理求得BE的长，再证得ABEADF，有AF=ADFD，则SAEF=AFAB解答：解：由题意知，DF=DF，CE=AE，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，AB2+BE2=（BCBE）2，即32+BE2=（4BE）2，解得：BE=，DAF+EAF=EAF+BAE=90，DAF=BAE又D=B=90，AD=CD=ABDAFBAEFD=DF=BE=AF=ADF
13、D=4=SAEF=AFAB=3=故本题答案为：点评：本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理9（5分）如图，已知A=B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=13考点：勾股定理分析：过P做A1B1平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB解答：解：方法一：如图：AD=AA1A1D=1716=1；BC=B1BB1C=2016=4；又A=BtanA=tanBCP=4DPCP=，DP=AP=，BP=故AP+PB=13方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F
14、点，延长BP交AA1于c点，过C点作CG垂直于BB1于G点AA1，BB1分别垂直于A1B1AA1BB1又A=B，A=ACP，三角形ACP为等腰三角形，AP=CPAP+BP=CP+PB=CBFDA1B1，FD垂直于AA1，D为AC的中点又PP1=16，AA1=17，BB1=20AD=DC=FG=1，BF=4BG=BF+FG=4+1=5在直角三角形CGB中CG=A1B1=12BG=5CB2=CG2+BG2=122+52CB=13=AP+PB点评：考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用10（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，则另一条直角边的长是4考点：
15、勾股定理分析：根据勾股定理，两边的平方和等于第三边的平方，设另一条直角边a，根据勾股定理可以得出斜边为，根据边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合边长为整数，进而得出a的值解答：解：设另一个直角边为a，则根据勾股定理可以得出斜边为，由三角形的边长关系：3+a，边长为整数，a=4，即斜边为5即另一条直角边的长是4点评：本题考查了勾股定理的应用，属于比较简单的题目，需要熟练掌握三、解答题（共4小题，满分53分）11（12分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD2考点：勾股定理专题：证明题分析：作AEBC于E，由于BAC=90，AB
16、=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，ED=BDBE=CECD，代入求出三者之间的关系即可得证解答：证明：作AEBC于E，如上图所示：由题意得：ED=BDBE=CECD，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE=CE=BC，由勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，AD2=AE2+ED2，2AD2=2AE2+2ED2=AB2BE2+（BDBE）2+AC2CE2+（CECD）2=AB2+AC2+BD2+CD22BDBE2CD
17、CE=AB2+AC2+BD2+CD22BCBC=BD2+CD2，即：BD2+CD2=2AD2点评：本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系12（13分）如图：在ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQAD于Q求证：ADCBEA；BP=2PQ考点：等边三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）由已知可得ABC是等边三角形，从而得到BAC=C=60，根据SAS即可判定ADCBEA；（2）根据全等三角形的性质可得到ABE=CAD，再根据等角的性质即可求得BPQ=60，再根据余角的性质得到PBQ=
18、30，根据在直角三角形中30的角对的边是斜边的一半即可证得结果解答：证明：（1）AB=BC=AC，ABC是等边三角形BAC=C=60AB=AC，AE=CD，ADCBEA（2）ADCBEA，ABE=CADCAD+BAD=60，ABE+BAD=60BPQ=60BQAD，PBQ=30BP=2PQ点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力13（14分）如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使EAF=45，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形考点：勾股定理的逆定理专题：证明题分析：由A作垂线交BC于H，设BAE=y，设BH=AH=
19、CH=1，从而用正切函数表示出EH，HF，EF，BE，CF，再将*=tany代入化简，根据勾股定理的逆定理可得到CF2+BE2=EF2，从而可判定以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形解答：解：由A作垂线交BC于H设BAE=y，设BH=AH=CH=1则EH=tan（45y）=HF=tanyEF=EH+HF=+tanyBE=1EH=CF=1tany令*=tany，则EF=*+BE=CF=1*CF2+BE2=（1*）2+（）2=（*+）2=EF2故这三条线段可做成直角三角形点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的运用能力14（14分）如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF
20、，求证：EF2=BE2+CF2考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DE，可得出EDFGDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF2=BE2+CF2，只需证明FG2=FC2+CG2即可解答：证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DEEDFGDF（SAS），EF=FG又D为斜边BC中点BD=DC又BDE=CDG，DE=DGBDECDG（SAS）BE=CG，B=BCGABCGGCA=180A=18090=90在RtFCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2点评：本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法
