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1、降幂公式、辅助角公式应用降幂公式(cos)2=(1+cos2)/2(sin)2=(1-cos2)/2(tan)2=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式如下直接运用二倍角公式就是升幂，将公式 Cos2 变形后可得到降幂公式：cos2=(cos)2(sin)2=2(cos)21=12(sin)2cos2=2(cos)21,(cos)2=(cos2+1)/2cos2=12(sin)2,(sin)2=(1-cos2)/2降幂公式例 10、 2008 三模函数xxxxfcossinsin3)(2I求函数的最小正周期； II求函数的值域. )(xf2, 0)(xxf在解解：xxxxfcossin
2、sin3)(2xx2sin2122cos13I232cos232sin21xx23)32sin(x22TII20 x34323x1)32sin(23x所以的值域为：)(xf232, 3点评点评：此题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定围，三角函数值域的求法。例例 11、 2008 六校联考向量(cosx，sinx)，()，且a2323b2sin2cosxx，x0，21求ba2设函数+，求函数的最值与相应的的值。baxf)(ba)(xfx解：解：I由条件： ， 得：20 x33(coscos,sinsin)2222xxxxab2233(coscos)(sinsin)2222xxx
3、xxxsin22cos22 22sin23sin2cos23cossin2)(xxxxxxfxx2cossin2，因为：，所以：23)21(sin21sin2sin222xxx20 x1sin0 x所以，只有当： 时， ， ，或时，21x23)(maxxf0 x1x1)(minxf点评点评：此题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。例例 12、 2008 文、理文、理函数的最小正周期2( )sin3sinsin()(0)2f xxxx为 .求 的值；求函数 f(x)在区间0，上的取值围.23解解：1 cos23( )sin222xf xx=311sinco
4、s2222xx=1sin(2).62x 因为函数 f(x)的最小正周期为 ,且0，所以22 解得=1.由得1( )sin(2).62f xx因为 0 x，23所以1226x7.6所以1.12(2)6x因此 0，即 f(x)的取值围为0，1sin(2)62x3232点评：点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。辅助角公式与三角函数的图像变换例 9、 2008 福田等向量 ,函数( 3sin ,cos ),(cos ,cos )axxbxx( )21f xa b (1)求的最小正周期; (2)当时, 假如求的值( )f x,
5、62x( )1,f x x解解：(1) . 2( )2 3sin cos2cos1f xxxx3sin2cos2xx2sin(2)6x所以，T. (2) 由得，( )1,f x 1sin 262x，,62x 72,626x5266x3x点评点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体局部如此是三角函数的恒等变换，以与解三角形等知识点.例 10、 2007 文在中，角的对边分别为ABCABC，tan3 7abcC ，1求；cosC2假如，且，求52CB CA 9abc解解：1sintan3 7
6、3 7cosCCC，又 解得22sincos1CC1cos8C ，是锐角tan0C C1cos8C2由， ，52CB CA 5cos2abC20ab又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c 点评点评：此题向量与解三角形的容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等容。例 11、 2007将的图象按向量平移，如此平移后所得图象的2cos36xy24 ，a解析式为2cos234xy2cos234xy2cos2312xy2cos2312xy解解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，,Px y,P x y如此，代入到解析式中可得选24 ，a,P Pxx
7、yy,24xxyy点评点评：此题主要考察向量与三角函数图像的平移的根本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移 2 个单位，4误选例 12、 2008 六校联考向量(cosx，sinx)，()，且a2323b2sin2cosxx，x0，21求ba2设函数+，求函数的最值与相应的的值。baxf)(ba)(xfx解：解：I由条件： ， 得：20 x22)2sin23(sin)2cos23(cos)2sin23sin,2cos23(cosxxxxxxxxbaxxsin22cos22 22sin23sin2cos23cossin2)
8、(xxxxxxfxx2cossin223)21(sin21sin2sin222xxx因为：，所以：20 x1sin0 x所以，只有当： 时， 21x23)(maxxf ，或时，0 x1x1)(minxf点评点评：此题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意 sinx 的取值围，否如此容易搞错。降幂公式、辅助角公式题库1.20101.2010 理理 11函数2( )sin(2)2 2sin4f xxx的最小正周期是_ .解析： 242sin22xxf故最小正周期为 ，此题主要考察了三角恒等变换与相关公式，属中档题2.20102.2010 文文 12函数2
9、( )sin (2)4f xx的最小正周期是 。答案 21.20101.2010 文文16. 本小题总分为 12 分函数2( )sin22sinf xxxI求函数( )f x的最小正周期。(II) 求函数( )f x的最大值与( )f x取最大值时 x 的集合。5.20105.2010 文文 15 本小题共 13 分函数2( )2cos2sinf xxx求()3f的值；求( )f x的最大值和最小值解：22()2cossin333f=31144 22( )2(2cos1)(1 cos)f xxx23cos1,xxR因为cos1,1x ,所以，当cos1x 时( )f x取最大值 2；当cos0
10、 x 时，( )f x去最小值-1。6.20106.2010 理理 15 本小题共 13 分 函数(x)f22cos2sin4cosxxx。求()3f的值；求(x)f的最大值和最小值。解：I2239()2cossin4cos1333344f II22( )2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxx =23cos4cos1xx =2273(cos)33x,xR 因为cosx 1,1， 所以，当cos1x 时，( )f x取最大值 6；当2cos3x 时，( )f x取最小值739.20109.2010 文文16.本小题总分为 12 分已经函数22cossin11( ), ( )sin2.
11、224xxf xg xx()函数( )f x的图象可由函数( )g x的图象经过怎样变化得出？求函数( )( )( )h xf xg x的最小值，并求使用( )h x取得最小值的x的集合。10.201010.2010 理理16 本小题总分为 12 分函数2( )3sin22sinf xxx求函数( )f x的最大值；II求函数( )f x的零点的集合。1.(2009 年卷文)函数1)4(cos22xy是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数 答案 A解析 因为22cos () 1cos 2sin242yxxx 为奇函数,2
12、2T,所以选 A.8.2009 卷理函数( )3sincos(0)f xxx，( )yf x的图像与直线2y 的两个相邻交点的距离等于，如此( )f x的单调递增区间是A.5,1212kkkZ B.511,1212kkkZC.,36kkkZ D.2,63kkkZ答案 C解析 ( )2sin()6f xx，由题设( )f x的周期为T，2，由222262kxk得，,36kxkkz，应当选 C9.2009 卷文设函数，其中，如此导数的取值围是A. B. C. D. 答案 D解析 21(1)sin3cosxfxxsin3cos2sin()3520,sin(),1(1)2,21232f，选 D10.2
13、009 卷文函数( )(13tan )cosf xxx的最小正周期为A2B32CD2答案：A解析由( )(13tan )coscos3sin2sin()6f xxxxxx可得最小正周期为2,应当选 A.11.2009 卷理假如函数( )(13tan )cosf xxx，02x，如此( )f x的最大值为A1 B2C31D32答案：B解析因为( )(13tan )cosf xxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x是，函数取得最大值为 2. 应当选 B24.2009 年卷理函数22cossin2yxx的最小值是_ .答案 12解析 ( )cos2sin212sin(2) 14f xxxx
14、 ，所以最小值为：1227.2009 卷文函数2( )2cossin2f xxx的最小值是。答案 12解析 ( )cos2sin212sin(2) 14f xxxx ，所以最小值为：1230.2009 文 本小题共 12 分函数( )2sin()cosf xxx.求( )f x的最小正周期；求( )f x在区间,6 2 上的最大值和最小值.解析 此题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等根底知识，主要考查根本运算能力解 2sincos2sin cossin2f xxxxxx，函数( )f x的最小正周期为.由2623xx ，3sin212x，( )f x在
15、区间,6 2 上的最大值为 1，最小值为32.33.(2009 卷理)(本小题总分为 12 分)设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个角，假如 cosB=31，1( )24cf ，且C为锐角，求 sinA.解: 1f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1 cos213cos2 cossin2 sinsin233222xxxx所以函数 f(x)的最大值为132,最小正周期.2( )2cf=13sin22C=41, 所以3sin2C , 因为 C 为锐角, 所以3C,又因为在ABC 中, cosB=31,
16、所以 2sin33B , 所以21132 23sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC.34.(2009 卷文)(本小题总分为 12 分)设函数 f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC 中,cba,分别是角 A,B,C 的对边,2, 1ba23)(Af,求角 C.解: 11 cos( )2sincos sinsin2f xxxxsinsin coscos sinsinxxxxsin coscos sinxxsin()x因为函数 f(x)在x处取最小值，所以sin()1 ,由诱导公式知sin1,因为0,所
17、以2.所以( )sin()cos2f xxx2因为23)(Af,所以3cos2A ,因为角 A 为ABC 的角,所以6A.又因为,2, 1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.44.2009 卷文 本小题总分为 13 分， 小问 7 分， 小问 6 分 设函数22( )(sincos)2cos(0)f xxxx的最小正周期为23求的最小正周期假如函数( )yg x的图像是由( )yf x的图像向右平移2个单位长度得到，求( )yg x的单调增区间解：2222( )(sinc
18、os)2cossincossin212cos2f xxxxxxxx sin2cos222sin(2)24xxx依题意得2223，故的最小正周期为32.依题意得:5( )2sin 3()22sin(3)2244g xxx由5232()242kxkkZ解得227()34312kxkkZ故( )yg x的单调增区间为:227,()34 312kkkZ3、 2008函数2( )(1 cos2 )sin,f xxx xR，如此( )f x是 A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数答案：D解析 222211 cos4( )(1 cos2 )
19、sin2cossinsin 224xf xxxxxx4.2008、文科卷函数( )cos22sinf xxx的最小值和最大值分别为 A. 3，1B. 2，2C. 3，32D. 2，32解析 22131 2sin2sin2 sin22f xxxx 当1sin2x 时， max32fx ，当sin1x 时， min3fx ；应当选；答案：C6.2007假如函数21( )sin()2f xxxR，如此( )f x是 A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数D最小正周期为的偶函数答案 D9.2006年某某函数xbxaxfcossin)(a、b为常数，0a，Rx在4x处取得最小值，如此函数)43(xfy是A偶函数且它的图象关于点)0 ,(对称B偶函数且它的图象关于点)0 ,23(对称C奇函数且它的图象关于点)0 ,23(对称 D奇函数且它的图象关于点)0 ,(对称答案 D11.2005 全国卷 6当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为A.2B.32C.4D.34答案 C13.理科卷函数( )(sincos )sinf xxxx，xR，如此( )f x的最小正周期是答案：解析 21 cos21( )sinsin cossin222xf xxxxx, ,所以函数的最小正周期22T。
