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1、word例4 周期初始温度分布求解热传导方程,给定初始温度分布。解.初始高斯温度分布例 5求解定解问题，其中常数. 解 .3初边值问题设长度为,侧外表绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度,如此杆上的温度分布满足以下初边值问题对于这样的问题,可以用别离变量法来求解. 将边值齐次化令再作变换引入新的未知函数,易知它满足我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形解 设代入方程这等式只有在两边均等于常数时才成立.令此常数为,如此有 3.4 3.5先考虑3.5,根据边界条件(3.3),应当满足边界条件 3.6情形A： 当时,方程3.5的通解可以写成要使它满足边界条件3.6,就必须由于只能故在的情况得不到非平
2、凡解.情形B： 当时,方程3.5的通解可以写成要满足边界条件3.6,即.也只能恒等于零.情形C： 当时,方程3.5的通解具有如下形式：由边界条件知再由可知,为了使就必须于是 3.7这样就找到了一族非零解 3.8称为常微分方程边值问题的固有函数特征函数.而称为相应的固有值或特征值.将固有值代入方程3.4中,可得 3.9于是得到一列可别离变量的特解 3.10由于方程3.1与边界条件3.3都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解 3.11其中.由3.2,为使在时,取到初值,应成立 3.12得出. 3.13得到问题3.13.3的解其中,.定理 假如如此 3.14是 的古典解经典解.证明 由得在上可
3、积.对任意当时,成立任意整数又对任意而级数收敛,所以在上一致收敛.于是，即级数,当时,关于与具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程与边界条件,从而函数在的任意性,得在时满足方程与边界条件,且再证由条件由Bessel不等式,知,从而得到在上一致收敛,在上一致收敛于,从而得在上连续.于是.定理 假设初始函数满足如此当趋于无穷大时,问题3.13.3的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当时,对一切,其中是一个与解无的正常数.证明 古典解是唯一的,是唯一的古典解,其中在上有界,设,如此有当时.齐次化原理考虑非齐次方程.齐次化原理：假如是下述问题 *的解其中为参
4、数,如此是非齐次问题的解.证明 显然,如此满足.是非齐次问题的解.现在来求问题*的解.作变换如此问题*化为 *我们问题*的解为其中,.于是故是非齐次问题的解.初边值问题的解为其中,. 3.15方法步骤 把,方程的非齐次项和初值都按照特征函数系展开：由特征函数系在区间上的正交性,可得,.而函数,把上述展开式问题3.15代入方程和初始条件,由特征函数系的完备性,从而得到适合如下微分方程和初始条件.于是得到从0到积分故非齐次初边值问题解的表达式为这与前面的结果一致.能量衰减估计用乘以方程两端,在上积分,于是, ,.定理 (Cauchy-Schwarz不等式)设在上可积，如此有。证明 证法一 对区间的任意分割：，任取 ，记，；由于成立 ，在上式中，令取极限，如此得到 ；证法二 考虑二次函数，；如果，在上式中取，得到，从而，于是成立；如果，如此对，成立 ，必有 ，此时自然成立，。定理 (Minkowski不等式)设在上可积，如此有.证明 因为，假如，如此不等式自然成立；假如，如此消去公因子，所以1. 用Cauchy-Schwarz不等式证明（1） 假如f (x)在a, b上可积，如此 ;（2） 假如f (x)在a, b上可积，且，如此在a, b上可积；且 .定理1设函数，且，如此有 .证明 由，得，于是，故结果得证.11 / 11
