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1、一元二次方程复习一） 一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.这三个方程都是一元二次方程.求根公式为二.a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项,注意的是系数连同符号的概念.这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、当0时方程有2个不相等的实数根；2、当0时方程有两个相等的实数根；3、当 0时方程无实数根.4、当0时方程有两个实数根方程有实数根;5、ac0时方程必有解,且有两个不相等的实数根; 6、c=0,即缺常数项时,方程有2个不相等的实数根,且有一个根是0.另一个根为7、当a、b、c是有理数,且方程中的是一个完全
2、平方式时,这时的一元二次方程有有理数实数根.8若,是一元二次方程的两个实数根, 即注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足0这个条件,否则解题就会出错.例：已知关于X的方程,问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.一元二次方程可变形为的形式.可以用求根公式法分解二次三项式.9、以两个数x1 x2为根的一元二次方程二次项系数为1是：x2-x1+x2x+ x1 x2010几种常见的关于的对称式的恒等变形三例题1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,求另一个根与常数项的值.解法一用方程根的定义解： 解法二用根系数关系解：2用十字相乘法解一
3、元二次方程一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0,这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多.十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项,左竖乘等于二次项系数,对角积之和等于一次项系数.三个条件都符合,结论添字母横写看成是关于谁的二次三项式就添谁.解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=0 1 -651 -45-65 -45= -110四与根的关系的综合运用ax2+bx+c=0, a0ax2+bx+c=0, 00有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大b0正根绝对值较大b =0两根绝对值相等C=0
4、一根为零b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根b,x1.x2 ,x1+x2与0的关系综合判断一元二次方程根的情况01有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x202有两个不相等的正实数根 x1.x20x1+x2003负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0x1+x204两个异号根正的绝对值较大 x1.x2005两根异号,但绝对值相等 x1.x206一个负根,一个零根 x1.x2 0x1+x207一个正根,一个零根 x1.x20x1+x2008有两个相等的负根 x1.x20x1+x20x1+x20010有两个相等的根都为零 x1.x20x1+x20011两根互为倒数 x1.x21
5、12两根互为相反数 0 x1+x2013两根异号 0 14两根同号 0 x1.x2015有一根为零 0 x1.x20 16有一根为-1 0 a-b+c=017无实数根 019 ax2+bx+c 这个二次三项式是完全平方式 020方程ax2+bx+c 0 a、b、c都是有理数的根为有理根,则是一个完全平方式.21方程ax2+bx+c 0 的两根之差的绝对值为：22 0,方程ax2+bx+c 0 有相等的两个实数根.23 0, 方程ax2+bx+c 0 无实数根.24方程ax2+bx+c 0 一定有一根为10 a+b+c=025方程ax2+bx+c 0 的解为26方程ax2+bx+c 0 若0则
6、注：凡是题中出现了x1.x20 即a、c异号方程必有解.1、 m为何值时,方程有两个相等的实数根；无实数根；有两个不相等的实数根；有一根为0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数.2、已知方程的两根一个大于1,另一个根小于1,求m的值的范围.3、已知实数a、b满足,且求的值.4、 已知关于x的方程有两个不相等的实数根,（1） 求k的取值范围2化简5、用适当的方法解下列方程说明选用的理由六归旧思想在解一元二次方程中的应用归旧就是把待解决的问题,通过某种转化,归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题.一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法,这几种解法,都是用归旧的数学思想方法求解
7、.下面就各种方法分别加以说明.直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负实数的形式,形如mx+n2=p 的方程.我们可以利用平方根的定义归旧为两个一元一次方程去解,即有一元一次方程为mx+n=,分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根.用简明图表可表示为：直接开平方法：形如mx+n2=p 两个一元一次方程.配方法：最适用于二次项系数为1,一次项系数为偶数的形式的一元二次方程,形如x2+2kx+m=0当然一般的形如ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法.这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段,把原方程归旧为上述形如mx+n2=p 的方程,然后再用直接开平
8、方法的方法求解.用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 形如mx+n2=p 的方程因式分解法：这种方法平时用的最多,最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程.这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段,把原方程转化为形如=0方程,从而归旧为a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ,再分别求出这两个一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的两个解.用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程公式法：公式法的实质就是配方法,只不过在解题时省去了配方的过程,所以解法简单.但计算量较大,只有在不便运用上述三种方法,且各项系数的绝对值为较小的数值情
9、况下才考虑使用该方法.一元二次方程练习题一、 填空1一元二次方程化为一般形式为：,二次项系数为：,一次项系数为：,常数项为：.2关于x的方程,当时为一元一次方程；当时为一元二次方程.3已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长是.4. ；.5直角三角形的两直角边是34,而斜边的长是15,那么这个三角形的面积是.6若方程的两个根是和3,则的值分别为.7若代数式与的值互为相反数,则的值是.8方程与的解相同,则=.9当时,关于的方程可用公式法求解.10若实数满足,则=.11若,则=.12已知的值是10,则代数式的值是.二、 选择1下列方程中,无论取何值,总是关于x的一元二次方程的是 A BC D2若与互为倒数,则实数为 A B1 C D3若是关于的一元二次方程的根,且0,则的值为 A B1 C D4关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是 A B C D5关于的一元二次方程有实数根,则 A0 B0 C0 D06已知、是实数,若,则下列说法正确的是 A一定是0 B一定是0 C或 D且7若方程中,满足和,则方程的根是 A1,0 B-1,0 C1,-1 D无法确定三、 解方程1. 选用合适的方法解下列方程1 23 4四、解答题1. 已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根,求这个三角形的腰.2. 已知一元二次方程有一个根为零,求的值.
