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1、三角形“四心向量形式的充要条件应用1O是的重心;假如O是的重心，如此故;为的重心.2O是的垂心;假如O是(非直角三角形)的垂心，如此故3O是的外心(或)假如O是的外心如此故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，如此刚刚O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是 。假如O是的内心，如此ACBCCP故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，如此P点的轨迹一定通过的 A外心B内心C重心D垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的
2、单位向量分别为， 又，如此原式可化为，由菱形的根本性质知AP平分，那么在中，AP平分，如此知选B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2 H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. 反之亦然证略例3.(某某)P是ABC所在平面上一点，假如，如此P是ABC的DA外心B内心C重心D垂心解析:由.即如此 所以P为的垂心. 应当选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理例4 G是ABC所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明 作图如右，图中连结BE和CE，如此CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中
3、线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.反之亦然证略例5 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明G是ABC的重心=0=0，即由此可得.反之亦然证略例6 假如 为内一点， ，如此 是 的 A内心 B外心 C垂心 D重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，如此，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7假如 为内一点，如此 是 的 A内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查例8向量，满足条件+=0，|=|=|
4、=1，求证P1P2P3是正三角形.数学第一册下，复习参考题五B组第6题证明 由+=-，两边平方得=， 同理 =，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，假如点O是正三角形P1P2P3的中心，如此显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如下列图的直角坐标系。设A(0,0)、Bx1,0、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，如此有： 由题设可设,AB(x1,0
5、)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10假如O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 假如ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心外心、重心、垂心的位置关系：1三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线；2三角形的重心在“欧拉线上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、
6、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .一、“重心的向量风采【命题1】 是所在平面上的一点，假如，如此是的重心如图.M图图 【命题2】 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，如此的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，假如，如此是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图.图图【命题4】 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，如此动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，
7、即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心的向量风采【命题5】 为所在平面上的一点，且， 假如，如此是的内心图图【解析】 ，如此由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，如此动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心的向量风采【命题7】 是所在平面上一点，假如，如此是的外心图图【解析】 假如，如此，如此是的外心，如图。【命题7】 是平面上的一定点，是平面上不共线的
8、三个点，动点满足，如此动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量注意：理由见二、4条解释。，所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。补充练习1A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),如此点P一定为三角形ABC的 B A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点非重心C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M，如此，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，应当选B.2在同一个平面上有与一点满足关系式： ，如此为的 D 外心 内心 C 重心 D 垂心2ABC的三个
9、顶点A、B、C与平面内一点P满足：，如此P为的 C 外心 内心 C 重心 D 垂心3O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，如此P的轨迹一定通过ABC的C 外心 内心 C 重心 D 垂心4ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，如此P点为三角形的 D 外心 内心 C 重心 D 垂心5ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，如此P点为三角形的 B 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，如此P点轨迹一定通过ABC的： B 外心 内心 C 重心 D 垂心与满足(+)=0且= , 如此ABC为( )解析：非零向量与满足()=0
10、，即角A的平分线垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC为等边三角形，选D8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，如此实数m =1所在平面内的一点，满足，如此点O是的BA三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点10. 如图1，点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，如此。 证 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线A不在直线MN上， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。1、课前练习ABC内的一点，假如，如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心ABC中，有命题；假如，如此ABC为等腰三角形；
11、假如，如此ABC为锐角三角形，上述命题中正确的答案是 A、 B、 C、 D、例1、ABC中，有和,试判断ABC的形状。练习1、ABC中，B是ABC中的最大角，假如，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、O是ABC所在平面内的一点，满足，如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，如此动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习2、O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，如此动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B
12、、垂心 C、外心 D、内心例4、O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，如此动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，如此动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例5、点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：7、作业1、O是ABC内的一点，假如，如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、假如ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，如此等于 A、 B、0 C、1 D、3、O是ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c假如，如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、P是ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，如此P是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量、满足，求证：ABC为正三角形。6、在ABC中，O为中线AM上的一个动点，假如AM2，求
