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1、初二数学上 因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2因式分解的方法：常用提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法.3公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a； a-b=-； 2=2； 3=-3.4因式分解的公式：平方差公式： a2-b2=a+ ba- b；完全平方公式： a2+2ab+b2=2, a2-2ab+b2=2.5因式分解的注意事项：1选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；2使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；3因
2、式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；4因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；5因式分解的最后结果要求加以整理；6因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6因式分解的解题技巧：1换位整理,加括号或去括号整理；2提负号；3全变号；4换元；5配方；6把相同的式子看作整体；7灵活分组；8提取分数系数；9展开部分括号或全部括号；10拆项或补项.7完全平方式：能化为m+n2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q, 有 x2+px+q是完全平方式 .分式1分式：一般地,用A、B表示两个整式,AB就可以表示为的形式,如果B中含有字母,式子 叫做分式.2有理式：整式与
3、分式统称有理式；即 .3对于分式的两个重要判断：1若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义；2若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零；注意：若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.4分式的基本性质与应用：1若分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式,分式的值不变；2注意：在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变；即 3繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分
4、式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7分式的乘除法法则：.8分式的乘方：.9负整指数计算法则：1公式： a0=1, a-n= ；2正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；3公式：,；4公式： -1-2=1, -1-3=-1.10分式的通分：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂.12同分母与异分母的分式加减法法则： .13含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数
5、,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.16分式方程的增根：在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根；注意：在解方程时,方程的两边
6、一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.17分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母或分式方程的每个分母,若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解；若值不为零,求出的根是原方程的解；注意：由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加验增根的程序.数的开方1平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根,即a的平方根是x；注意：1a叫x的平方数,2已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算.2平方根的性质：1正数的平方根是一对相反数；20的平方根还是0；3负数没有平方根
7、.3平方根的表示方法：a的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算.4算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为.注意：0的算术平方根还是0.5三个重要非负数： a20 ,|a|0 ,0 .注意：非负数之和为0,说明它们都是0.6两个重要公式： 1 ; 2 .7立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根,即a的立方根是x.注意：1a叫x的立方数；2a的立方根表示为；即把a开三次方.8立方根的性质：1正数的立方根是一个正数；20的立方根还是0；3负数的立方根是一个负数.9立方根的特性：.10无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：p和开方开不尽的数是
8、无理数.11实数：有理数和无理数统称实数.12实数的分类：12 .13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意：1近似计算时,中间过程要多保留一位；2要求记忆：.三角形几何A级概念：要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图几何表达式举例： AD平分BACBAD=CAD BAD=CADAD是角平分线2三角形的中线定义：在三角形中,连结一
9、个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.如图几何表达式举例： AD是三角形的中线 BD = CD BD = CDAD是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.如图几何表达式举例： AD是ABC的高ADB=90 ADB=90AD是ABC的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.如图几何表达式举例： AB+BCAC AB-BCAC5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图几何表达式举例： ABC是等腰三角形 AB = AC AB = AC ABC是等腰三角形6等边三角
10、形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. 如图几何表达式举例：ABC是等边三角形AB=BC=AC AB=BC=ACABC是等边三角形7三角形的内角和定理与推论：1三角形的内角和180；如图2直角三角形的两个锐角互余；如图3三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；如图4三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.1 2 34几何表达式举例： A+B+C=180 C=90A+B=90 ACD=A+B ACD A8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.如图几何表达式举例： C=90ABC是直角三角形 ABC是直角三角形C=909等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角
11、三角形叫等腰直角三角形.如图几何表达式举例：C=90CA=CBABC是等腰直角三角形 ABC是等腰直角三角形C=90 CA=CB10全等三角形的性质：1全等三角形的对应边相等；如图2全等三角形的对应角相等.如图几何表达式举例： ABCEFG AB = EF ABCEFGA=E 11全等三角形的判定：SASASAAASSSSHL. 如图 12 3几何表达式举例： AB = EF B=F又 BC = FGABCEFG在RtABC和RtEFG中 AB=EF又 AC = EGRtABCRtEFG12角平分线的性质定理与逆定理：1在角平分线上的点到角的两边距离相等；如图2到角的两边距离相等的点在角平分线
12、上.如图几何表达式举例：OC平分AOB又CDOA CEOB CD = CE CDOA CEOB又CD = CEOC是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图几何表达式举例： EF垂直平分ABEFAB OA=OB EFAB OA=OBEF是AB的垂直平分线14线段垂直平分线的性质定理与逆定理：1线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；如图2和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图几何表达式举例： MN是线段AB的垂直平分线 PA = PB PA = PB点P在线段AB的垂直平分线上15等腰三角形的性
13、质定理与推论：1等腰三角形的两个底角相等；即等边对等角如图2等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一；如图3等边三角形的各角都相等,并且都是60.如图 1 2 3几何表达式举例： AB = ACB=C AB = AC又BAD=CADBD = CDADBC ABC是等边三角形 A=B=C =6016等腰三角形的判定定理与推论：1如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等；即等角对等边如图2三个角都相等的三角形是等边三角形；如图3有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；如图4在直角三角形中,如果有一个角等于30,那么它所对的直角边是斜边的一半.如图1234几何表达式举例：
14、 B=C AB = AC A=B=CABC是等边三角形 A=60又AB = ACABC是等边三角形 C=90B=30AC =AB17关于轴对称的定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形；如图2如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.如图几何表达式举例： ABC、EGF关于MN轴对称ABCEGF ABC、EGF关于MN轴对称OA=OE MNAE18勾股定理与逆定理：1直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2；如图2如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.如图几何表达式举例： ABC是直角三角形a2+b2
15、=c2 a2+b2=c2ABC是直角三角形19Rt斜边中线定理与逆定理：1直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半；如图2如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.如图几何表达式举例：ABC是直角三角形D是AB的中点CD = AB CD=AD=BDABC是直角三角形几何B级概念：要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二 常识：1三角形中,第三边长的判断： 另两
16、边之差第三边另两边之和.2三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即：若CDAB,BECA,则CDAB=BECA.4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6分别含30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即：1 ACCB=CDAB ； 21=B ,2=A .8三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个
17、外角是钝角.9全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中,文字叙述题需要自己画图,写已知、求证、证明.12符合AAASSA条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：1分析综合法；2方程分析法；3代入分析法；4图形观察法.14几何基本作图分为：1作线段等于已知线段；2作角等于已知角；3作已知角的平分线；4过已知点作已知直线的垂线；5作线段的中垂线；6过已知点作已知直线的平行线.15会用尺规完成SAS、ASA、AAS、SSS、HL、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的作图.16作图题在
18、分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：1估画图；2工具画图；3尺规画图.18几何重要图形和辅助线：1选取和作辅助线的原则： 构造特殊图形,使可用的定理增加； 一举多得； 聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角； 作辅助线必须符合几何基本作图.2已知角平分线.若BD是角平分线 在BA上截取BE=BC构造全等,转移线段和角； 过D点作DEBC交AB于E,构造等腰三角形 .3已知三角形中线若AD是BC的中线 过D点作DEAC交AB于E,构造中位线 ； 延长AD到E,使DE=AD 连结CE构造全等,转移线段和角； AD是中线 SABD= SADC等底等高的三角形等面积 已知等腰三角形ABC中,AB=AC 作等腰三角形ABC底边的中线AD顶角的平分线或底边的高构造全等三角形； 作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等腰三角形.5其它作等边三角形ABC一边 的平行线DE,构造新的等边三角形；作CEAB,转移角； 延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形； 多边形转化为三角形； 延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角形； 若ab,AC,BC是角平分线,则C=90.
