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1、第四章 比例3.比例的应用知识梳理1. 比例尺.（1） 意义：一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺. 图上距离：实际距离=比例尺或=比例尺（2） 分类：按表现形式分,可以分为数值比例尺和线段比例尺； 按将实际距离缩小还 是放大分,可以分为缩小比例尺和放大比例尺. （3） 已知图上距离和实际距离,求比例尺的方法. 先把图上距离和实际距离统一单位,再用图上距离比实际距离,然后把它化简成前项是1或后项是1的比,得出比例尺.（4） 已知比例尺和图上距离,#际距离的方法. 可以根据=比例尺用解比例的方法求出实际距离,也可以利用实际距离=图上距离比例尺直接列式计算.（5） 已知比例尺和实际距
2、离,求图上距离的方法.可以根据=比例尺用解比例的方法求出图上距离,也可以利用图上距离=实际距离比例尺直接列式计算.（6） 应用比例尺画图.确定比例尺；根据比例尺求出图上距离；画图； 标出所画图的名称和比例尺. 要点提示：比例尺是一个比,表示两个同类量间的倍比关系,不能带单位名称.图上距离一般用厘米作单位,实际距离一般用米或千米作单位,计算比例尺时一定要先统一单位.为了计算方便,一般把比例尺写成前项或后项是1的形式.2. 图形的放大与缩小.（1） 特点：形状相同,大小不同.（2） 将图形放大或缩小的方法.一看,看原图形各边占几格；二算,按已知比计算出放大图或缩小图的各边占几格；三画,按计算出的边
3、长画出原图形的放大图或缩小图.要点提示：把图形每条边按相同倍数放大或缩小后,形状不变,相对应的角的度数也不变.3. 用比例解决问题.根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并判断这两种相关联的量成什么比例关系,再根据正、反比例关系列出相应的比例并求解.要点提示：用正、反比例解决问题的关键是确定成什么比例关系.诊断自测1. 填空.1在比例尺是1：2000000的地图上,量得两地距离是38厘米,这两地的实际距离是千米.2白兔与灰兔只数的比是7：6,白兔56只,灰兔只.3已知3：x=5：y,x比y小15,则x=,y=.4一个三角形的周长是14厘米,这个三角形的三边的比为2：2：3,这个三角形最长的一条
4、边是 厘米,按照边来分类,它是一个 三角形.2. 选择. 1圆的面积与 成正比例关系. A. 半径 B.半径的平方 C.圆周率 2a,b,c 三个数均大于零,当a1=b=c时,则 a,b,c中最大的是 . A. a B. b C. c 3一个礼堂长18米,宽10米,用边长4分米的方砖铺地,需要 块方砖. A.1100 B. 1125 C.45 D.1803. 判断. 1把图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比,大小不同,但形状相同. 2出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数成正比例关系. 3同一时间、同一地点中午12时除外,竿高和它的影子成正比例关系. 4. 解决问题. 有一批货物,如果每天运2
5、0车,30天可以运完现在要提前5天运完,每天应运多 少车？用比例解 考点突破类型一：比例尺的意义.例1. 判断.比例尺的前项都是1. 答案： 解析：缩小比例尺的前项一般是1,但放大比例尺的前项却不一定是1,如比例尺8：1 的前项是8.例2. 填空.(1) 在图幅相同的情况下,长春地图、中国地图和世界地图相比, 地图的比例尺最大, 地图的比例尺最小.(2) 甲地到乙地的实际距离是120km,画在比例尺是1：6000000的地图上,两地的图上距离是 . 答案：1长春 世界22cm解析：1根据=比例尺可知,当图上距离一定时,实际距离与比例尺成反比例关系.长春、中国和世界的东西和南北长度相比,长春的实
6、际长度中国的实际长度中国地图的比例尺世界地图的比例尺.2根据图上距离=实际距离比例尺可知,图上距离=120=0.00002km=2cm.例3.选择.（1） 在比例尺是1：6000000的地图上,量得南京到的距离是15厘米,南京到的实际距离大约是 千米. A800千米 B90千米 C900千米（2） 在设计图上,用40cm的长度表示4mm的机器零件的长度,这幅设计图的比例尺是 . A.10:1 B.1:10 C.1：100 答案：1C 2C 解析：1根据图上距离实际距离=比例尺可知,实际距离=图上距离比例尺=15=90000000cm=900km,故选C.240cm=400mm,根据=比例尺可知
7、, 比例尺=1：100,故选C.3cm例4. 一块长方形菜地的长是90m,宽是75m.请你用的比例尺在下面画出它的平面示意图.比例尺=2.5cm 答案： 菜地的平面示意图 解析：190m=9000cm,75m=7500cm.根据图上距离=实际距离比例尺可知,长方形长的图上距离=9000cm=3cm,长方形宽的图上距离=7500=2.5cm.再按照比例尺的画图步骤画出菜地的平面示意图.类型二：图形的放大与缩小.例5.选择.张强和李明分别将教室的黑板画了下来,如下图.如果张强是按1：m的比画的,那么李明是按 的比画的.张强画的12cm6cm李明画的 A.1:m B.1：2m C.1：m D.1：m
8、 答案：A 解析：根据=比例尺,由张强的画可知,黑板长的实际距离=6m. 再由李明的画可知,比例尺=126m=1：m,故选A. 例6.选择. 1把一个图形按3：1放大后,周长 . A.扩大到原来的3倍 B.扩大到原来的6倍 C.扩大到原来的9倍 D.不变 2把一个图形按4：1放大后,它的面积 . A.扩大到原来的2倍 B.扩大到原来的4倍 C.扩大到原来的8倍 D.扩大到原来的16倍 答案：1A 2D 解析：如果把一个图形按一定的比扩大,图形周长扩大的倍数与图形边长放大的倍数相同；图形面积扩大的倍数等于图形边长放大倍数的平方.故1选A, 2选D. 例7.把一个长12cm、宽8cm的长方形按1：
9、4缩小,得到的长方形的面积是多少平方厘米？ 答案：12=3cm 8=2cm 32=6cm2 答：得到的长方形的面积是6平方厘米. 解析：把一个长12cm、宽8cm的长方形按1：4缩小,是指把长方形的长和宽分别缩小到原来的,由题意可知,缩小后的长方形长=12=3cm,宽=8=2cm,故面积=32=6cm2 .类型三：用比例解决问题.例8.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车每小时行全程的,货车每小时行60千米,相遇时客车和货车所行路程的比是3:2.甲、乙两地相距多少千米？ 答案：解：设甲、乙两地相距x千米,则由题意得x：60=3：2x=180 x=360 答：甲、乙两地相距360千米.解析：
10、设甲、乙两地相距x千米,则客车每小时行x.在相同时间内,客车和货车的路程之比等于两车的速度之比,即x：60=3：2,解比例可得x=360千米.例9.甲、乙两车同时从A地开往B地,当甲车行至全程的处时,乙车行了全程的；当乙车到达B地时,甲车距B地还有12.5千米.求A、B两地之间的距离. 答案：=3：4 12.51-=50千米 答：A、B两地之间的距离是50千米.解析：甲、乙两车车行驶的时间始终相同,那么两车在相同的时间内,行驶的路程之比也是不变的,所以,当乙车到达B地时,甲、乙两车的路程比为：=3：4,再根据甲车距B地还有12.5千米,可以求出A、B两地的距离=12.51-=50千米.例10.
11、客轮和货轮分别从甲、乙两港同时相向开出,经过若干小时两船相遇,相遇后又行了6小时货船到达甲港,这时客船已过乙港又向前行了甲、乙两港距离的20%,客船和货船从出发到相遇用了多少小时？答案：把甲、乙两港间的距离看作单位1,由题意知,客货两船速度比为1+20%：1=6：5由于相遇后货船6小时行的路程就是相遇前客船t小时行的路程,故客货两船行驶这段路程所用时间之比为t：6=5:6,6t=30,解得t=5. 答：客船和货船从出发到相遇用了5小时. 解析：把甲、乙两港间的距离看作单位1.由题意知,在相同的时间内, 货船行了1,客船行了1+20%,所以客货两船速度比为：1+20%：1=6：5.由于相遇后货船
12、6小时行的路程就是相遇前客船t小时行的路程,故客货两船行驶这段路程所用时间之比=t：6=5:6,解方程即可求得客船和货船从出发到相遇所用时间t=5小时.易错精选1. 选择. 1两根同样的钢筋,其中一根锯成3段用了12分钟,另一根要锯成6段,需要 分钟.A.24 B.12 C.30 2若X、Y、Z都是不为零的自然数,且X=Y=Z,则它们的大小关系是.A.XYZ B.YZX C.ZYX D.ZXY 3一个直角三角形,两直角边长度之和是14分米,它们的比是3：4,这个直角三角形的斜边是10分米,那么斜边上的高为分米.2. 判断. 1图上距离一定小于实际距离 . 2把一个图形按4:1放大后,所得新图形
13、的面积是原来图形面积的4倍. 3两地的实际距离是1200千米,在比例尺是1:2000000的地图上的距离是6厘米. 精华提炼1. 如果把一个图形按一定的比扩大,图形周长扩大的倍数与图形边长放大的倍数相同；图形面积扩大的倍数等于图形边长放大倍数的平方.2. 线段比例尺中,线段的单位长度通常是1cm.3. 一般情况下,按一定的比变化图形时,比的前项大于后项时,是将图形放大；比的前项小于后项时,是将图形缩小.4. 自行车里的数学：前齿轮转数前齿轮齿数=后齿轮转数后齿轮齿数.蹬一圈自行车行走的距离=车轮的周长前齿轮齿数：后齿轮齿数本节训练训练1 1.填空. 1甲、乙、丙三个数的平均数是70.甲：乙=2
14、：3,乙是丙的,乙数是 . 2一种药水需要0.6克药配1.5克水,照这样计算,配6千克水需要 千克的药. 3在比例尺是1：300000的地图上量得两地间的距离是8厘米,两地间的实际距离是 千米.训练2 2.选择.1某加工小组计划加工一批零件,如果每天加工20个,15天可以完成实际4天就加工了100个照这样的工作效率,多少天可以完成任务？解：设x天可以完成任务,正确的比例式是A.2015=1004x B.100：4=2015：x C.2015=100x D.100：4=20：x2一个等腰三角形的底边与一条腰的长度之比是3：2,周长是35厘米那么,这个三角形底边是厘米.A.21 B.15 C.10
15、 D.13训练3 3.判断. 1一个图形的长和宽按照相同的比放大或者缩小,所得图形才能与原图相像. 2比例尺越大,图上距离越小. 3甲数和乙数的比是5:4,则甲数比乙数多. 训练4 4.用边长为30厘米的方砖给教室铺地,需要600块；现在改用边长为50厘米的方砖铺,需要多少块方砖？用比例解答基础巩固1、 填空. 1.甲乙两数的比是5：3,乙数是60,甲数是 . 2.甲、乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水,已知甲瓶中盐、水的比是2：9,乙瓶中盐与水的比是3：10,现在把甲、乙两瓶盐水混合在一起,则盐水中盐与盐水的比是 . 3.甲乙两个互相咬合的齿轮,它们的齿数比是7：3,甲乙齿轮的转数比是 . 4
16、. 在图ABC中,AE=AC,BD=BC,阴影部分与空白部分面积的比是 .2、 选择题. 1.下列各个说法中,错误的是A在比例里,两个外项的积等于两个内项的积 B实际距离和图上距离的比叫做比例尺 C每支铅笔的价钱一定,铅笔支数和总价成正比例 D被除数一定,除数和商成反比例. 2.水是由氢和氧按1：8的重量化合而成的,90千克水中,含氢和氧各是.A1千克,89千克 B8千克,82千克 C10千克,80千克 D80千克,10千克 3.小红和小明放学步行回家,已知小红走的路程比小明少,而小明用的时间比小红多,那么小红与小明步行回家的速度比是A3：5 B5：3 C4：5 D1：3 3、 判断题. 1.
17、 比例尺l：100说明图上的1厘米表示实际的距离l00米. 2. 将一个长2mm的零件画在图纸上长10厘米,这幅图的比例尺是1:50. 3. 小明和他的哥哥去年的年龄比是5:8,今年他们的年龄比不变. 4、 解答题. 1.李师傅要加工60双皮鞋,实际加工时效率提高了15%, 结果提前1.5 小时完成.李师傅实际每小时加工多少双皮鞋？ 2.客车和货车同时从甲、乙两地相向而行,相遇时,客车比货车多行22千米,两车的速度之比为9:8.甲、乙两地相距多少千米？3.师徒两人各加工90顶帽子,师傅比徒弟晚加工 2.5小时,结果两人同时完工.已知师傅和徒弟的工作效率之比为9:7.徒弟每小时加工多少顶帽子？4
18、.甲、乙两位师傅要加工一批零件,如果每小时加工40个,比计划推后2小时完成；如果每小时加工35个,比计划推后3小时完成.这批零件多少个？巅峰突破1. 桌上放着一些糖,其中水果糖占.后来又往桌上放了39块水果糖,6块奶糖.这时水果糖占总数的60%,现在桌上共有多少块糖？2. 两个工程队合作完成一项工程,甲工程队先干2天,然后乙工程队再加入,完成任务时,甲工程队完成这项工程的,已知甲、乙两个工程队的工作效率比为3:2,那么,甲工程队单独完成这项工程需要多少天？3. 小玲从甲地步行去乙地,去时速度为每分钟55米,返回时速度为每分钟50米,结果返回时比去时多花1分钟.那么,甲、乙两地之间相距多少米？4
19、. 乘火车从甲城到乙城,1998年初需要19.5小时,1998年火车第一次提速30%,1999年第二次提速25%,2000年第三次提速20%.经过这三次提速后,从甲城到乙城乘火车需多少小时？5. 两只轮船同时从甲、乙两港相向开出,客船每小时行49千米,货船的速度是客船的,两只轮船在离甲、乙两港中点6千米处相遇.求甲、乙两港的距离是多少？参考答案诊断自测答案：1. 1760 248 322.5 37.5 46 等腰.2. 1 B 2B 3B3. 1 2 34. 设每天应运x车,则由题意得30-5x=2030, 25x=600 x=60025 x=24答：每天应运24车.易错精选1. 1答案：C
20、解析：根据锯成3段用了12分钟,知道锯次用了12分钟,由此可求锯一次所用时间为1226分；再根据另一根钢筋要锯成6段,只要锯6-1次即可,所以锯成6段所需要的时间为6530分.故选C. 2答案：D 解析：设X=Y=Z=T,则X=T,Y=T,Z=2T,因为2TTT,所以ZXY.故选D. 3答案：D 解析：由两直角边之和是14分米,之比是3:4可知,两直角边的长度分别为6分米和8分米,故三角形面积=68224平方分米.直角三角形的斜边是10分米,故斜边上的高=2三角形面积10=4810 =4.8分米.故选D.2.1答案： 解析：因为在科研和生产中,需要将一些精密的仪器或零件放大后画在图纸上,所以此
21、时的图上距离就大于实际距离,故此题错误. 2答案： 解析：如果把一个图形按一定的比扩大,图形面积扩大的倍数等于图形边长放大倍数的平方.若把一个图形按4:1放大后,所得新图形的面积是原来图形面积的16倍. 3答案： 解析：6厘米表示实际距离是62000000=12000000厘米=120千米,不是1200千米,故此说法错误. 本节训练训练1 1.答案： 172 22.4 324 解析：1甲：乙=2：3=8：12,乙：丙=4：5=12：15,所以甲：乙：丙=8：12：15,8+12+15=35.甲乙丙三数之和=703=210,故乙=210=72. 2设配6千克水需要x千克的药,则由题意得x：6=0
22、.6：1.5,解方程得x=2.4千克. 3根据=比例尺,得两地间的实际距离=2400000厘米=24千米.训练2 2.答案： A 2B 解析：1由题意可知,加工小组的工作总量=2015,实际的工作效率=1004,设x 天可以完成任务,故可列比例式2015=1004x,即选A. 2由题意可知,等腰三角形的底边与两条腰的长度之比是3：2：2,三角形周长是35厘米,故等腰三角形的底边=35=15厘米,即选B.训练3 3.答案：1 2 3 解析：1把一个图形的长和宽按照相同的比放大或者缩小后的图形与原图形相比,形状相同,但大小不相同,故此题正确. 2根据=比例尺,可知当实际距离一定时,比例尺越大,图上
23、距离越大,所以此题错误. 3甲数和乙数的比是5:4,则乙数是甲数的,所以甲数比乙数多.故此题错误. 训练4 4.答案：设需要x块方砖,由题意得5050x=30306002500x=900600x=9006002500 x=216答：需要216块方砖.解析：教室的地面面积一定,方砖的面积和所需方砖的数量成反比.根据题意可列比例式5050x=3030600,解方程即可求得x.基础巩固答案：一、1. 1002. 59:2863. 3:74. 1:3二、1. B 2.C 3.C三、1. 2. 3.四、1.计划效率：实际效率= 1：1+15%=20:23；计划时间：实际时间= 23 ：20；计划时间：1
24、.523-2023 = 11.5小时；实际时间：11.5-1.5=10小时实际效率：6010=6双答：李师傅实际每小时加工6双皮鞋.2. 22-=22=374千米 答：甲、乙两地相距374千米.3. 师傅的工作时间：2.59-77 = 小时；徒弟的工作时间：=11.25小时徒弟的工作效率：9011.25=8顶 答：徒弟每小时加工8顶帽子.4. 设原计划加工这批零件所需时间为t小时,由题意得40t+2=35t+35t=25 t=5 405+2=280个 答：这批零件共280个.巅峰突破 1.答案：设桌上原来有x块糖,则由题意得x+39=60%x+39+6x+39=x+27x-x=39-27x=1
25、2x=45 45+39+6=90块 答：现在桌上共有90块糖.解析：设桌上原来有x块糖,则原来水果糖数量为x,加入新的糖后水果糖的数量为x+39个,糖的总数变为x+39+6个,这时水果糖占总数的60%,可列方程x+39=60%x+39+6,解方程即可求得x=45,故加入新的糖后现在桌上共有45+39+6=90块糖. 2.答案：2-1-=2=32天 答：甲工程队单独完成这项工程需要32天. 解析：因为甲、乙两个工程队的工作效率比为3:2,则在相同的时间内甲队的工作量是乙队的,也就是说在乙工作的这段时间内,甲完成这项工作的1-=,因此,甲先干2天完成了工作总量的-=.所以,我们可以求出甲单独干完这
26、项工作的时间：2-1-=2=32天. 3. 答案：去时速度：返回速度=55:50=11:10,则去时时间：返回时间=10:11. 11-=1=11分5011=550米 答：甲、乙两地之间相距550米. 解析：小玲在甲、乙两地之间往返行驶,所行的路程一定,因此,速度和时间成反比例,只要求出速度比,就能得到时间比,然后再根据时间差是1分钟,可以先求出时间,最后求出路程. 4.答案：设1998年的速度为V,经过三次提速后,从甲城到乙城乘火车需t小时,则提速后,2000年的速度变为V1+30%1+25%1+20%,由题意得V1+30%1+25%1+20%t=19.5V 19.5V=t1.95V t=1
27、0答：从甲城到乙城乘火车需10小时.解析：设1998年的速度为V,经过三次提速后,从甲城到乙城乘火车需t小时.根据题意知,2000年的速度变为V1+30%1+25%1+20%.根据甲乙两城之间的距离一定,可列方程V1+30%1+25%1+20%t=19.5V,解方程即可求得t=10小时. 5.答案：由题意知,客、货两船的速度比是7:6,则62=1213=156千米 答：甲、乙两港的距离是156千米. 解析：因为两船同时出发,到相遇时时间一定,所以,路程和速度成正比,即相遇时客、货两船行驶的路程比是7:6.由离甲、乙两港中点6千米处相遇可知,相遇时客船比货船多行62=12千米.所以甲、乙两港的距离为62=1213=156千米.
