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1、微分算子法微分算子法分类小结1、 n阶微分方程1、二阶微分方程： +p(x)+q(x)y=f(x) 2、n阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ . +any=f(x)2、 微分算子法 1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x 求导n次；表示积分，如x=2 , x表示 对x 积分n次，不要常数。 2、计算 将n阶微分方程改写成下式： Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ . +an-1Dy+any=f(x) 即 Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+any=f(x) 记F(D)=Dn
2、+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an规定特解：y*=3、的性质(1)性质一：ekx=ekx(F(k) 不等于0注：假设k为特征方程的m重根时，有ekx= xmekx= xmekx (2)性质二：ekxv(x)= ekxv(x)(3)性质三：特解形如sin(ax)和cos(ax)i.考察该式该种形式万能解法：eiax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+isin(ax)虚数 i2 = -1ii.假设特解形如sin(ax)和cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 假设F(-a2)0，那么sin(ax
3、)=sin(ax)cos(ax)=cos(ax)假设F(-a2)= 0 ，那么按i.进展求解，或者设-a2为F(-a2) 的m重根，那么sin(ax)=xmsin(ax)cos(ax)=xmcos(ax) (4)性质四多项式：xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp= Q(D)xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。(5) 性质五分解因式:=(6) 性质六:= 三、例题练习例1. +4y=ex 那么(D2+4)y=ex ,特解y*=ex=ex=ex (性质一)例2、 y(4)+y=2cos(3x，那么(D4+
4、1)y= 2cos(3x 特解y*=2cos(3x= 2cos(3x= 2cos(3x=cos(3x(性质三)例3、-4+4y= x2e2x,那么(D2-4D+4)y= x2e2x 特解y*=x2e2x = e2*2=e2*2= x4e2x 性质二例4、-3+3- y=ex ,那么(D3-3D2+3D-1)y=ex特解y*=ex=ex1=ex1=x3ex(性质二例5、-y=sinx ,那么(D3-1)y=sinx ,特解y*=sinx考察eixeix=eix=eix=eix=(cosx+isinx) =-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx) 取虚部为特解y*=(cosx-sinx)
5、 (性质一、三)例6、+y=cosx ，那么(D2+1)y=cosx ，特解y*=cosx 考察eix eix=eix=eix=eix=eix1=-xeix=xsinx-ixcosx 取实部为特解y*=xsinx (性质一、二、三 例7、-y=ex ，那么(D4-1)y= ex 特解y*=ex=ex=ex =ex =ex=ex1=xex 性质一、二、五例8、+y=x2-x+2 , 那么(D2+1)y=x2-x+2 特解y*=(x2-x+2)=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x (性质四)例9、+2+2y=x2e-x ,那么(D2+2D+2)y=x2e-x特解y*=x2e-x=e-*2 =e-*2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2)性质二、四例10、+y=xcosx ，那么(D2+1)y=xcosx ， 特解y*=xcosx ，考察xeix xeix=xeix=ei*=ei*=ei*=ei*=ei*=(cosx+isinx)x=(xcosx+x2sinx)+i(xsinx-x2cosx)取实部为特解y*=(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四
