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1、Kalman滤波误差分析,1 矩阵Riccati方程的解2 Kalman滤波误差方差阵的上、下界,Kalman滤波误差分析1 矩阵Riccati方程的解,1 矩阵Riccati方程的解,从前面Kalman滤波方程中，我们知道，对于如下系统：,1 矩阵Riccati方程的解从前面Kalman滤波方程,为了弄清楚误差的变化情况，最直接的办法当然是求解上述方程。为方便，下面以连续系统为例求解P(t)。从 的表达式可以看出，这是一个非线性矩阵微分方程。如将起展开则为一个非线性微分方程组，而非线性微分方程目前尚无一般解法，通常只能用数值解法，因此得不到封闭形式的解。但是，从形式上可以看出，它是一个矩阵R
2、iccati方程，仿照在最佳控制理论中，Riccati方程的导出过程，可知，如设：则上述非线性矩阵Riccati方程可分解为两个线性微分方程：,为了弄清楚误差的变化情况，最直接的办法当然是求解上述方程。为,要验证上述分解是不困难的，求导直接代入即可：为了简便，不写宗量，有：,Kalman滤波误差分析课件,采用扩充状态变量（增广状态矢量）的办法，可以将两个线性D.E合并成一个：,采用扩充状态变量（增广状态矢量）的办法，可以将两个线性D.E,一般情况下，C(t)、D(t)相互交联在一起，求解过程比较麻烦，在特殊情况下，如Q(t)=0或R-1(t)=0，即没有系统噪声或量测噪声方差阵非常大时（对量测
3、噪声没有任何先验知识）问题可以简化。从动态方程亦可看到，这是增广系统阵为三角阵（上三角阵或下三角阵）。若Q(t)=0，则有,一般情况下，C(t)、D(t)相互交联在一起，求解过程比较麻,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,注意为原系统的转移阵不是滤波系统转移阵,注意为原系统的转移阵,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,这亦是一个齐次方程，式中：,这亦是一个齐次方程，式中：,注意下标关系，上下标限,注意下标关,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差
4、分析课件,方向：1.不断扩展，充分充要条件2.针对具体问题，讨论具体条件,方向：1.不断扩展，充分充要条件,2 Kalman滤波误差方差阵的上、下界,上面我们讨论了K.F.误差方差阵的解，可以看到，对于一个实际系统来说，上述过程是相当麻烦的；另外，在工程上，我们更关心的往往是P(t)，PX的变化范围，即上下界，而不是具体的变化过程，因此就没有必要求出其解来。定理：若系统,是一致完全可控和一致完全可观测的，即有,2 Kalman滤波误差方差阵的上、下界上面我们讨论了K,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalm
5、an滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,既然上面已经证明了Pk的上界，显然若能将下界问题转化为上界问题，问题的证明将会比较方便。根据矩阵理论，若 ，这启示我们要利用逆阵的关系，但实际计算时还有些技巧。实际运算表明，直接采用对应的“倒数”（逆矩阵）关系还是有点麻烦的。只要设法建立某种“倒数”关系，问题就可望解决。,既然上面已经证明了Pk的上界，显然若能将下界问题转化为上界问,写成标准式：,为方便起见，合写在一起：,写成标准式：为方便起见，合写在一起：,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,设某一线性预测估计为,设某一线性预测估计为,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,Kalman滤波误差分析课件,可见，对于一致完全可控，一致完全可观测的随机系统，其滤波误差方差阵有一致的上下界。即随着k或t，滤波误差不会无限，也不会无限0。,可见，对于一致完全可控，一致完全可观测的随机系统，其滤波误差,Kalman滤波误差分析课件,
