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1、八年级下册,18.2.3.1 正方形的性质,八年级下册18.2.3.1 正方形的性质,学习目标,理解正方形的概念.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边 形、 矩形、菱形之间的联系和区别.,会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.,1,2,学习目标 理解正方形的概念.探索并证明正方形的性质,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.,你还能举出其他的例子吗？,情景思考,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.,探究点一：正方形的性质,矩 形,问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？,正方形,活动探究,探究点一：正方形的性质 矩,问题2 菱形怎
2、样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？,正方形,活动探究,问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？,邻边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定义：,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,归纳总结,活动探究,邻边相等矩形正方形 菱 形一个角是直角正,已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明：四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC （正方形的定义）. 又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).A=B =C =D = 90, AB= BC
3、=CD=AD.,证一证,活动探究,已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形. ACBD.,活动探究,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性： .对称轴：.,轴对称图形,4条,A,B,C,D,活动探究,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片
4、,折一折,观察并思考,矩形,菱形,正方形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,归纳总结,活动探究,矩形菱形正平行四边形 正方形是特殊的平行四边,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证: ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,
5、ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.,典例精讲,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全,例2 如图，在正方形ABCD中， BEC是等边三角形， 求证： EADEDA15 .,证明： BEC是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30，ABE，DCE是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CED=75，EAD= EDA=90-75=15.,典例精讲,例2 如图，
6、在正方形ABCD中， BEC是等边三角形，,1.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小,解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；,举一反三,1.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边A,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.,易错提醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正
7、方形的外部或在正方形的内部,举一反三,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，易错提醒：因为,2.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD（1）求证：APBDPC；,解：四边形ABCD是正方形，ABC=DCB=90PB=PC，PBC=PCBABC-PBC=DCB-PCB，即ABP=DCP又AB=DC，PB=PC，APBDPC,举一反三,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,2.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=
8、P,证明：四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45APBDPC，AP=DP又AP=AB=AD，DP=AP=ADAPD是等边三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC,（2）求证：BAP=2PAC,举一反三,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,证明：四边形ABCD是正方形，（2）求证：BAP=2P,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F.试说明：AP=EF.,解:,连接PC，AC.,又PEBC ， PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90, AC垂直平分
9、BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.,AP=PC.,AP=EF.,归纳：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.,典例精讲,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEB,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分C.对角互补 D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角 D.对角线相等,B,D,举一反三
10、,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (,3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积,解：四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD ， 面积为AD28.,举一反三,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.
11、8cm2,A,1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等,A,22.5,随堂检测,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （）,3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= .,45,90,22.5,45,随堂检测,4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,3在正方形ABC中,ADB= ,DA,
12、课堂小结,本节课都学到了什么？,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,课堂小结本节课都学到了什么？1.四个角都是直角2.四条边都相,1.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长,解：四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，
13、ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.,个性化作业,在RtABC中，FCACAF( 1)cm，BE( 1)cm,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,1.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平,2. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下：四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .DCF=180-BCE=90.BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.,A,B,D,C,F,E
14、,个性化作业,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,2. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长,延长BE交DE于点M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90,CBE+F=90 ,BMF=90.BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,个性化作业,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,延长BE交DE于点M,ABDFECM个性化作业特殊的平行四,再见,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）,再见特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行,
