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1、阶段复习课第 四 章,【核心解读】1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).,2.点和圆的位置关系设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点P在圆外.(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点P在圆内.(3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2点P在圆上.,3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则(1)l与圆C相离dr.(2)l与圆C相切d=r.(3)l与圆C相交dr.,4.圆与圆的位置关系设圆C1
2、与圆C2的圆心距离为d,半径分别为R与r且Rr,则两圆(1)相离dR+r.(2)外切d=R+r.(3)相交R-rdR+r.(4)内切d=R-r.(5)内含0dR-r.,5.求圆的方程时常用的四个几何性质,6.与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用
3、根与系数关系及弦长公式|AB|= |xA-xB|=注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,主题一 圆的方程【典例1】(1)方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a1C.a-1 D.-1a1(2)求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.,【自主解答】(1)选A.因为方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得a1.,(2)方法一:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则由题意得解方程组得a=1,b=-4,r=2 ,故
4、所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,方法二：由于圆心在直线 y=4x上，又在过切点(3,-2)与切线x+y1=0垂直的直线y+2=x3，即xy5=0上，解方程组 可得圆心(1,-4)，于是故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,【方法技巧】1.求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.2.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式.(2)由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组).(3)解出a，b，r(或D，E，F).(4)代入圆的方程.,【补偿训练】圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是()A.(
5、x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=4【解析】选D.由圆的标准方程得圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=4.,主题二 直线与圆的位置关系【典例2】(1)若曲线x2+y2+a2x+(1a2)y4=0关于直线yx=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=( )(2)已知直线xmy+3=0和圆x2+y2-6x+5=0.当直线与圆相切时，求实数m的值;当直线与圆相交，且所得弦长为 时，求实数m的值.,【自主解答】(1)选B.因为曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y4=0关于直线yx=0的对称曲线仍是其本身，所以直
6、线y-x=0过圆心 即 解得a=,(2)因为圆x2+y2-6x+5=0可化为(x3)2+y2=4，所以圆心为(3,0).因为直线x-my+3=0与圆相切，所以 解得m=2 .圆心(3,0)到直线xmy+3=0的距离由 得，m2=9，故m=3.,【方法技巧】直线与圆位置关系的判断 直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单.,【拓展延伸】弦长公式 设弦长为|AB|，则|AB|= 或|AB|=,【补偿训练】已知圆C:(x-1)2+y2=16内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆
7、心C时,求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程.,【解析】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=16的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,lPC,直线l的斜率为- ,直线l的方程为y-2=- (x-2),即x+2y-6=0.,主题三 圆与圆的位置关系【典例3】(1)圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值为()A. B. C.5 D.10(2)已知两圆x2+y2-10 x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,求它们
8、的公共弦所在直线的方程及公共弦长.,【自主解答】(1)选A.圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0),(3,-1),则圆心距d= ,故2r= ,r= .,(2)x2+y2-10 x-10y=0;x2+y2+6x-2y-40=0;-整理得:2x+y-5=0即为公共弦所在直线的方程.x2+y2-10 x-10y=0可化为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心到2x+y-5=0的距离 所以弦长的一半为 公共弦长为 .,【方法技巧】判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系.(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问
9、题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.,【补偿训练】两圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有()A.2条 B.3条C.4条 D.以上都不对【解析】选A.两圆圆心分别为(-2,2),(2,5),所以圆心距为5,两圆半径为2,4,所以两圆位置关系为相交,所以其公切线有2条.,主题四 数形结合思想【典例4】(1)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且POQ=120(其中O为原点)，则k的值为( )
10、A. B. C. D. (2)若直线y=kx-1与曲线y=- 有公共点，则k的取值范围是( ),【自主解答】(1)选A.方法一：因为|PQ|=2sin 60= ，圆心到直线的距离d=所以 解得k= .,方法二：利用数形结合如图所示，因为直线y=kx+1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2+y2=1上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，POQ=120，所以QPO=30，故PAO=60，所以k= ，即直线PA的斜率为 .同理可求得直线PB的斜率为- .,(2)选D.曲线y= 表示的图形是一个半圆，直线y=kx1过定点(0,1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范
11、围是0,1，故选D.,【方法技巧】对数形结合思想的认识数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来的思想,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合,取长补短”.,【补偿训练】圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=2 ,如图所示,圆心C到直线x+y+1=0的距离为 ,故过圆心C与直线x+y+1=0平行的直线l与圆的两个交点A,B到
12、直线x+y+1=0的距离为 .又圆的半径r=2 ,故过圆心C作直线x+y+1=0的垂线段,并延长与圆的交点C到直线x+y+1=0的距离为 ,故选C.,【强化训练】1.(2014北京高一检测)以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y+7=0B.x2+y2+8x+4y-6=0C.x2+y2-4x+2y-5=0D.x2+y2-8x-2y-9=0【解题指南】求出圆心即可用排除法选出选项.【解析】选D.因为以(5,6)和(3,-4)为直径端点,所以圆心为(4,1),故选D.,2.若直线x-y=2被圆(xa)2+y2=4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为( )A.-1
13、或 B.1或3C.-2或6 D.0或4【解析】选D. |a2|=2,a=4或a=0.,3.(2014菏泽高一检测)方程 =lgx的根的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.无法确定【解析】选B.设f(x)= ,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x),g(x)两个函数图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示.由图可得函数f(x)= 与g(x)=lgx仅有1个交点,所以方程仅有1个根.,4.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为.【解析】设切线方程为y=kx,代入圆方程中,得(1+k2)x2-4x+3=0.由
14、=0,解得k= 所以切线方程为x+ y=0.答案:x+ y=0,5.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.,【解析】因为圆A:(x-6)2+(y-6)2=18的圆心为A(6,6),半径r1=3 ,又A到l的距离为5 ,所以所求圆B的直径2r2=2 ,即r2= .设B(m,n),则由BAl得 又因为B到l距离为 ,所以 解出m=2,n=2或m=0,n=0(不合题意,舍去).故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2,6.(2014兰州高一检测)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上
15、,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.【解析】把圆的方程都化成标准形式,得(x+3)2+(y-1)2=9及(x+1)2+(y+2)2=4.如图,C1的坐标是(-3,1),半径长是3;C2的坐标是(-1,-2),半径长是2.所以, 因此,|MN|的最大值是 +5.,7.已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.,【解析】设所求圆的圆心为C(a,a-1),半径为r(r0),则点C到直线l2的距离点C到直线l3的距离是由题意,得解得a2,r5,即所求圆的方程是(x-2)2(y-1)225.,
