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1、余 弦 定 理,用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？,两角和一边，两边和其中一边的对角。,正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,复习回顾,思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？,不能，在正弦定理 中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。,那么，怎么解这个三角形呢？,同理，从 出发， 证得 从 出发，证得,证明：,学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。,已知AB,AC和它们的夹角A，求CB,即,向量法,解析法,(bcosC,bsinC),(a,0),(0，0),证明：以CB所在的直线为x轴
2、，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,同理：,(bcosC,bsinC),(a,0),(0，0),解析法,当角C为锐角时,几何法,当角C为钝角时,余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。,在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a,同理有：,同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。,几何法,用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,余 弦 定 理,例1：若已知b=8,c=3,A= ,能求a吗？,思考：余弦定理还有别的用途吗？
3、若已知a,b,c,可以求什么？,解：,余弦定理的变形：,例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A，B，C（精确到 ）,分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题,解：,练一练：,1、已知ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。,变一变：,若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？,归纳：利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：,（1）已知三边，求三个角,（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。,解：由余弦定理得：,例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断ABC的形状,变式训练：,在ABC中，若，则ABC
4、的形状 为（）,、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定,A,提炼：设a是最长的边，则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,推论：,判断三角形的形状,练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6,分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。,B中： ，所以C是钝角,D中： ，所以C是锐角， 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形,A、C显然不满足,B,练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值,分析：求最大角的
5、余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。,解：,则有：b是最大边，那么B 是最大角,（1）余弦定理适用于任何三角形,（3）由余弦定理可知：,（2）余弦定理的作用：,a、已知三边，求三个角,b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角,c、判断三角形的形状,小结,正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？,角边角角角边边边角边角边边边边,正弦定理,余弦定理,运用,例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C= , 解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）,分析：已知两边和两边的夹角,解：,数学运用,思考: (1)还可怎样求角A？,(2)角A会有两解吗？,
