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1、正弦定理,A,B,BC的长度与角A的大小有关吗?,三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?,在RtABC中,各角与其对边的关系:,不难得到:,C,B,A,a,b,c,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?,正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.,即,(1) 若直角三角形,已证得结论成立.,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,证法1:,(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立,且,仿(2)可得,(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,（
2、2R为ABC外接圆直径）,2R,思考,求证:,证明：,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,A,c,b,C,B,D,a,向量法,证法2:,利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.,证明：,而,同理,ha,证法3:,剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,已知两角和一边，求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.,定理的应用,例 1,在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.,解：,且,19.32,=,已知两角和任意边，求其他两边和一角,14.14,=,a,在ABC
3、中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.,在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.,a= ,c= , ,练习,例 2,已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,由于154.30 +3001800,故B只有一解（如图）,C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角,已知两边和
4、其中一边的对角,求其他边和角,1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.,B=90，C=60，c= ,(2) b=40，c=20，C=45.,练习,注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解,无解,课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况),正弦定理：,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,课后思考,谢谢大家,A,C,a,b,absinA,无解,A,C,a,b,a=bsinA,一解,A,C,a,b,bsinA a b,两解
5、,B,B1,B2,B,A,C,b,a,一解,a,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,ab,无解,a=b,无解,ab,一解,正弦定理的综合应用,实际问题,例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是,，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？,想一想,实例讲解,分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高为 29.9m.,A,解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。,在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。,本节小结:,
