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1、第六章三角函数,5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质,一、正弦函数和余弦函数的概念,实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，,每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值.,因此，任意给定一个实数 ，有唯一确定的值,与之对应.,函数,叫做正弦函数,函数,叫做余弦函数,正弦函数和余弦函数的定义域是,正弦函数和余弦函数的值域是,二、正弦函数的图像,正弦函数 在区间 上的图像.,思考 如何利用正弦线确定点 的坐标？,知道作函数 图像上一个点，,二、正弦函数的图像,正弦函数 在区间 上的图像.,就可作出一系列的点，例如,最后将函数 在区间 上的图像左右,二
2、、正弦函数的图像,正弦函数 在区间 上的图像.,平移(每次 个单位)，就可以得到,的图像.,正弦函数 的图像叫做正弦曲线,例1.试画出正弦函数在区间 上的图像.,五个关键点：,利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”,三、余弦函数的图像,根据诱导公式 可知余弦函数,的图像可由 的图像向左平移,个单位得到.,余弦函数 的图像叫做余弦曲线,例2.试画出余弦函数在区间 上的图像.,五个关键点：,并注意曲线的“凹凸”变化.,课堂练习,1.作函数 与 在,2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.,上的大致图像.,3.作函数 的大致图像.,4.利用3.解不等式：,课堂练习答案,1.,2.,课堂练习答
3、案,与 的图像关于 轴对称；,的图像为 的图像向上平移1,个单位.,3.,4.根据上图可知，解集为,第六章三角函数,6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质,6.1.2 正弦函数和余弦函数的图像与性质,一、正弦函数的值域与最值,正弦函数的值域是,当且仅当 时，,正弦函数取得最大值1；,当且仅当 时，,正弦函数取得最小值-1.,二、余弦函数的值域与最值,余弦函数的值域是,当且仅当 时，,余弦函数取得最大值1；,当且仅当 时，,余弦函数取得最小值-1.,例1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值,时的自变量 的值.,(1),(2),解:(1),当 时，,当 时，,(2)视为,当 ，即 时，,当
4、 ，即 时，,例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值,时的自变量 的值.,(1),(2),解:(1)视为,当 ，即 时，,当 ，即 时，,例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值,时的自变量 的值.,(1),(2),解:(2),当 ，即 时，,当 ，即 时，,，视为,解毕,例3.动点 绕原点 作逆时针匀速圆周运动，,初始位置如图所示，角速度为 .,(1)建立 与运动时间 (秒)的函数关系式.,(2)求 运动到最高点时的 的值.,解: (1),(2) ，,此时,解得,解毕,课堂练习,1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时,的自变量 的值.,(1),(2),(1),(2),2.要求
5、同第1题.,3.如图，当 为何值时，,矩形 周长最大？,课堂练习答案,1.(1),当 时，,当 时，,(2),当 时，,当 时，,课堂练习答案,2.(1),当 时，,当 时，,(2),当 时，,当 时，,3.如图，当 为何值时，,矩形 周长最大？,课堂练习答案,解：设矩形 周长为,当 时，,解毕,第六章三角函数,6.1.2 正弦函数和余弦函数的图像与性质,6.1.3 正弦函数和余弦函数的图像与性质,匀速圆周运动中,用函数变量之间的关系,如何描述？,“周而复始”的现象,一、函数周期性的定义,一般地，对于函数 ，如果存在非零常数,使得对于定义域内的每一个自变量 值，都有,那么函数 叫做周期函数，,
6、非零常数 叫做,这个函数的周期.,思考,也是周期吗？,周期函数有多少个周期？,一、函数周期性的定义,一般地，对于函数 ，如果存在非零常数,使得对于定义域内的每一个自变量 值，都有,最小正周期 一个周期函数的全部周期中,若存在一个最小正数，那么这个最小的正数,就叫做这个周期函数的最小正周期.,那么函数 叫做周期函数，,非零常数 叫做,这个函数的周期.,二、正弦函数与余弦函数的周期,正弦函数是周期函数，,都是它的,周期，最小正周期是,余弦函数是周期函数，,都是它的,周期，最小正周期是,对于任意,都有,注：一般三角函数的周期都是指最小正周期,例1.求下列函数的周期：,(1),(2),解: (1)设
7、的周期为,即,即,即,对任意 都成立：,因此,，从而,解毕,解: (2),因此周期为,思考 试说明周期与此类函数的什么相关？具体关系是什么？,例1.求下列函数的周期：,(1),(2),解毕,二、正弦函数与余弦函数的周期,正弦函数是周期函数，,都是它的,周期，最小正周期是,余弦函数是周期函数，,都是它的,周期，最小正周期是,函数 及函数,(其中 是常数， ),最小正周期是,例2.若钟摆的高度 与时间 之间的函数,关系如图所示.,(1)求该函数的周期；,(2)求 时钟摆,的高度.,解: (1),(2),因此10秒时，钟摆高度为,解毕,课堂练习,1.求周期：,(1),(2),2.若函数 的最小正周期
8、是,求正数 的值.,3.求周期：,(1),(2),4.已知 的定义域为 ，且满足,证明 是周期函数并求出它的周期.,课堂练习答案,1.,(1),(2),2.,3.,(1),(2),，解得,课堂练习答案,4.已知 的定义域为 ，且满足,证明 是周期函数并求出它的周期.,证：,对于任意 都成立.,上式对于任意 都成立.,因此 是周期为6的周期函数.,证毕,课外阅读材料,正弦函数的最小正周期,求证：正弦函数 的最小正周期,为,证：反证法 假设存在 满足：,则,与,矛盾,因此假设不成立，又 显然是周期，,所以正弦函数的最小正周期是,证毕,第六章三角函数,6.1.3 正弦函数和余弦函数的图像与性质,6.
9、1.4 正弦函数和余弦函数的图像与性质,一、正弦函数与余弦函数的奇偶性,正弦函数是奇函数，图像关于原点对称；,余弦函数是偶函数，,图像关于 轴对称.,对于任意,都有,二、正弦函数与余弦函数的单调性,在一个周期 中，,二、正弦函数与余弦函数的单调性,正弦函数,在每一个闭区间,上，从 增大到 ，是增函数.,在每一个闭区间,上，从 减小到 ，是减函数.,二、正弦函数与余弦函数的单调性,余弦函数,在每一个闭区间,上，从 增大到 ，是增函数.,在每一个闭区间,上，从 减小到 ，是减函数.,例1.不求值，利用正、余弦函数的单调性比大小：,(1),(2),解: (1),在区间,上是增函数，且,因此,(2),在区间,上是减函数，且,因此,解毕,例2.已知函数,(1)求单调增区间；,(2)求 在 上的单调减区间.,解: (1),因此,且,即,即单调增区间为,例2.已知函数,(1)求单调增区间；,(2)求 在 上的单调减区间.,解: (2),因为,所以,故所求减区间为,因此当 时，,单减,解毕,课堂练习,1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由.,(1),(2),2.求函数 的单增区间.,3.求函数,的最值.,课堂练习答案,1.(1),奇函数,(2),非奇非偶,课堂练习答案,2.,即求 的单减区间.,因此原来函数的单调增区间为,得,课堂练习答案,3. 函数,得,因此,即,
