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1、直线与圆的方程的应用,一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为,dr,d=r,dr,d与r的大小关系,2个,1个,0个,交点个数,图形,相交,相切,相离,位置,r,d,r,d,r,d,则,求圆心坐标及半径r（配方法）,圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）,消去y,几何方法,代数方法,判断直线和圆的位置关系,例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.,分析：建立如图所示的直角坐标系，把实
2、际问题转化为数学问题求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题利用圆的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释实际意义圆拱形桥支柱的高A2P2.,解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：x2（yb）2r2，点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以有,解得：,所以，圆的方程为：,把 的横坐标 代入,圆的方程得：,由题可知y0，解得：y3.86(m),答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.,思考：不建立坐标系,如何解决这个问题?,C,B,作,即,得,在,中，,得,又,在,中,所以支柱A2P2的高度约是3.86m.,解法
3、如下,B,例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.,探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？,如图所示,探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？,y,探究：四边形ABCD的外接圆圆心O的坐标如何表示？,过四边形外接圆的圆心O分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，由中点坐标公式，有：,证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，
4、建立如图所示的直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，,第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量.,由中点坐标公式，有：,第二步:进行有关代数运算,由两点间的距离公式，有：,所以,即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.,第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.,利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：,第一步：,建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题,第二步：,通过代数运算，解决代数问题,第三步：,把代
5、数运算结果“翻译”成几何结论,【提升总结】,练习.如图,直角ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.,2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).,2.向量的方法：,与圆有关的最值问题 1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上
6、一点P到点A距离的最大值是,最小值是.,【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1.方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x,因为-2x2,所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5;当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1.答案:51,与圆有关的最值问题 2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则x-y的最大值和最小值分别是_和_. x2+y2的最大值和最小值分别是_和_.,2.
7、(1)设x-yb，则yx-b与圆x2y2-4x10有公共点,即 所以故x-y最大值为2 ,最小值为2- .(2)设 k,则ykx与x2y2-4x10有公共点,即所以 ,故 最大值为 ,最小值为,(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径r故(2- )2x2y2(2 )2.由此x2y2最大值为74 ,最小值为7-4 .答案：,方程 kx2有惟一解,则实数k的范围是( ) A.k B.k(-2,2) C.k2 D.k2或k,【解析】选D.由题意知,直线ykx2与半圆x2y21(y0)只有一个交点结合图形易得k2或k,【类题试解】方程 表示的曲线为() A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆
8、【解析】选A.两边平方整理得:(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-10得x1或x-1,所以(x-1)2+(y-1)2=1(x1)或(x+1)2+(y-1)2=1(x-1),所以为两个半圆,故选A.,1.若O1：x2+y2=5与O2：（x-5）2+y2=20（mR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A.1 B.2 C.3 D.4,D,解：选D.由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心C2,C1则在RtC2AC1中，|C1A|= ，|C2A|= ，斜边上的高为半弦，用等积法易得： ,分析：从圆与圆的位置关系、点到直线
9、的距离以及直线与圆的位置关系角度处理.,1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.5 B.10 C.15 D.20,【解析】1.选B.圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,设圆心为G,易知G(1,3),最长弦AC为过E的直径,则|AC|=最短弦BD为与GE垂直的弦,如图所示,易得|BG|= ,|EG|= |BD|=2|BE|=所以四边形ABCD的面积为S |AC|BD|,某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在
10、零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得 AB8 cm，MN2 cm根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径,【变式练习】,解：以 AB 中点 M 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有 A(4，0)，B(4，0)，N(0，2) 设过 A，B，N 的圆的方程为 x2y2DxEyF0，代入 A，B，N 的坐标，可得,解得,因此所求圆的方程为x2y26y160，化为标准方程是x2(y3)252，所以这个零件的半径为 5 cm,1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.,2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.,
