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1、专题五 几何综合题,例1（2018广东）如图，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC=30，求点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.（1）求证ACFDAE；（2）若SAOC = ，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是O的切线.,（1）BC为O的直径，BAC=90，又ABC=30，ACB=60，又OA=OC，OAC为等边三角形，即OAC=AOC=60，AF为O的切线，OAF=90，CAF=AFC=30，DE为O的切线，DBC=OBE=90，D=DEA=30，D=CAF，DEA=AFC，ACFDAE；,（2
2、）AOC为等边三角形，SAOC= ，OA=1，BC=2，OB=1，又D=BEO=30，BD= ，BE= ，DE= ；,（3）如图，过O作OMEF于M，OA=OB，OAF=OBE=90，BOE=AOF，OAFOBE，OE=OF，EOF=120，OEM=OFM=30，OEB=OEM=30，即OE平分BEF，又OBE=OME=90，OM=OB，EF为O的切线.,1（2018黔南州）如图，AB是O的直径，点D是 上一点，且BDE=CBE，BD与AE交于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD平分ABE，求证：DE2=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，
3、求PD的长,题组训练,（1）证明：AB是O的直径，AEB=90，EAB+ABE=90，EAB=BDE，BDE=CBE，CBE+ABE=90，即ABC=90，ABBC，BC是O的切线；（2）证明：BD平分ABE，1=2，而2=AED，AED=1，FDE=EDB，DFEDEB，DE：DF=DB：DE，DE2=DFDB；,（3）连结DE，如图，OD=OB，2=ODB，而1=2，ODB=1，ODBE，PODPBE， = ，PA=AO，PA=AO=BO， = ，即 = ，PD=4,2（2018包头）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与
4、点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长,（1）证明：连接BD，在RtABC中，ABC=90，AB=BC，A=C=45，AB为圆O的直径，ADB=90，即BDAC，AD=DC=BD= AC，CBD=C=45，A=FBD，DFDG，FDG=90，FDB+BDG=90，EDA+BDG=90，EDA=FDB，又AD=BD，AEDBFD（ASA），AE=BF；,（2）证明：连接EF，BG，AEDBFD，DE=DF，EDF=90，EDF是等腰直角三角形，DEF=45，G=A=45，
5、G=DEF，GBEF；,3（2018娄底）如图所示，在RtABC与RtOCD中，ACB=DCO=90，O为AB的中点（1）求证：B=ACD（2）已知点E在AB上，且BC2=ABBE（i）若tanACD= ，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的A的位置关系，并请说明理由,解：（1）ACB=DCO=90，ACBACO=DCOACO，即ACD=OCB，又点O是AB的中点，OC=OB，OCB=B，ACD=B，（2）（i）BC2=ABBE， = ，B=B，ABCCBE，ACB=CEB=90，ACD=B，,ABCCBE，ACB=CEB=90，ACD=B，tanACD=tan
6、B= ，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，（4x）2+（3x）2=100，解得x=2，CE=6；,（ii）过点A作AFCD于点F，CEB=90，B+ECB=90，ACE+ECB=90，B=ACE，ACD=B，ACD=ACE，CA平分DCE，AFCE，AECE，AF=AE，直线CD与A相切,4（2018德州）如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长,解：（1）直线l
7、与O相切理由：如图1所示：连接OE、OB、OCAE平分BAC，BAE=CAE BOE=COE又OB=OC，OEBClBC，OEl直线l与O相切,（2）BF平分ABC，ABF=CBF又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF=BAE+ABF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7DBE=BAE，DEB=BEA，BEDAEB ，即 ，解得；AE= AF=AEEF= 7= ,5（2018甘孜州）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H（1）判断DH与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H
8、为CE的中点；（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长,（1）解：DH与O相切理由如下：连结OD、AD，如图，AB为直径，ADB=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，而AO=BO，OD为ABC的中位线，ODAC，DHAC，ODDH，DH为O的切线；,（2）证明：连结DE，如图，四边形ABDE为O的内接四边形，DEC=B，AB=AC，B=C，DEC=C，DHCE，CH=EH，即H为CE的中点；,6（2018鄂州）如图，在RtABC中，ACB=90，AO是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O（1）求证：AB是O的切线（2）已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanD= ，求 的
9、值（3）在（2）的条件下，设O的半径为3，求AB的长,（1）如图，过点O作OFAB于点F，AO平分CAB，OCAC，OFAB，OC=OF，AB是O的切线；,（2）如图，连接CE，ED是O的直径，ECD=90，ECO+OCD=90，ACB=90，ACE+ECO=90，ACE=ODC，OC=OD，OCD=ODC，ACE=ODC，CAE=CAE，ACEADC， = ，tanD= ， = = ，,巩固练习,1如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线
10、段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求ABC的面积,（1）证：连接OC，PE是O的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DAC=OCA，OA=OC，OCA=OAC，DAC=OAC，AC平分BAD；,（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB理由：AB是O的直径，ACB=90，BAC+ABC=90，OB=OC，OCB=ABC，PCB+OCB=90，PCB=PAC，P是公共角，PCBPAC，, PC2=PBPA，PB：PC=1：2，PC=2PB，PA=4PB，AB=3PB；（3）解：过点O作OHAD于点H，则AH= AD= ，四边形 OCEH是矩形，,OC=HE，AE=
11、 +OC，OCAE，PCOPEA， AB=3PB，AB=2OB，OB= PB，OC= AB=5，,PBCPCA， AC=2BC，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，(2BC)2+BC2=52，BC= AC= SABC= ACBC=5,2如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B、C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN= 90，交直线CP于点N，求证：AM=MN,解：（1）如图1，连接OD，OC，PC、PD是O的两
12、条切线，C、D为切点，ODP=OCP=90,四边形ABCD是O的内接正方形，DOC=90，OD=OC，四边形DOCP是正方形，AB=4，,ODC=OCD=45，DO=CO=DCsin45= 4= ；（2）如图1，连接EO，OP， 点E是BC的中点，OEBC，OCE=45,则E0P=90，EO=EC=2，OP= CO =4，,PE= = （3）证：如图2，在AB上截取BF=BM，AB=BC，BF=BM，AF=MC，BFM=BMF=45，AMN=90，AMF+NMC=45，FAM+AMF=45，FAM=NMC，由(1)得：PD=PC，DPC=90，DCP=45，MCN=135，AFM=180BFM=135，,在AFM和CMN中 AFMCMN(ASA)，AM=MN,
