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1、1,第十章,结构动力响应分析,2,10-6 近似法求自振频率,1、能量法求第一频率Rayleigh法,根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U 之和应等于常数。 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Umax=Tmax,求Umax ，Tmax,求频率,如梁上还有集中质量mi，,位移幅值,.,Yi为集中质量mi处的位移幅值。,3,假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：,1、必须满足运
2、动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y=0）,尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求1的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即,4,2）假设均布
3、荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x),例12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线,满足边界条件且与第一振型相近,3）假设,第一振型的精确解。,精确解,5,例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0 x/l。,解：,单位长度的质量：,设位移形状函数：,满足边界条件：,Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。,截面惯性矩：
4、,6,1、假设多个近似振型,都满足前述两个条件。,2、将它们进行线性组合,（a1、a2、an是待定常数）,3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，an的可能组合，确实获得了最小的2值。,所选的a1，a2，an使,2 获得最小值的条件是,这是以a1，a2，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。,为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束， Ritz 提出了改进方法：,7,8,例：用Rayl
5、eighRitz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。,解：悬臂梁的位移边界条件为：,只取第一项,代入：,代入频率方程：,其精确解：,与精确解相比，误差为27%。,9,例：用RayleighRitz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。,解：,取两项,代入：,代入频率方程：,求得kij，mij：,求得最初两个频率近似值：,（0.48%）,（58%）,说明：1)由于1、2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差， 故第二频率不准。 2)RayleighRitz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。,10,2、集中质量法,在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质
6、量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。,该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。,集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。,等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作 法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。,例15 试用集中质量法求简支梁自振频率。,11,(0.7%）,(0.1%）,(3.1%）,(0.05%）,(4.8%）,(0.7%）,12,一、振型分解法(不计阻尼),运动方程,设,-j振型广义质量,-j振型广义刚度,-j振型广义荷载,折算体系,10-7 振型分解法,13,计算步骤:,1.求振型、频率;,2.求广
7、义质量、广义荷载;,3.求组合系数;,4.按下式求位移;,14,例一.求图示体系的稳态振幅.,解:,15,16,17,从结果看,低阶振型贡献大,一般不需要用全部振型叠加,用前几个低阶振型叠加即可。,18,例二.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.,解:,19,二.振型分解法(计阻尼),阻尼力,-阻尼矩阵,-当质点j有单位速度 ,其余质点速度为0时,质点i上的阻尼力.,若下式成立,则将 称作正交阻尼矩阵, 称作振型j的广义阻尼系数.,运动方程,设,20,设,令,-第j振型阻尼比(由试验确定).,计算步骤:,1.求振型、频率;,2.求广义质量、广义荷载;,4.求组合系数;,5.按下式求位移;,3
8、.确定振型阻尼比;,21,正交阻尼矩阵的构成,-比例阻尼(Rayleigh阻尼),已知两个阻尼比,，,通常根据已知的两阶频率，如1、2，以及实验测定的1 、2，分别代入上式，求出和，然后可确定任意阶振型的阻尼比。,22,结构动力学小 结,一、几个值得注意的问题,1. 弹性体系的振动自由度,描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。,三个集中质量，一个自由度,一个集中质量，两个自由度,2. 确定体系振动自由度的方法
9、,方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有两个振动自由度。,方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。,例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自由度为多少？,解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆，体系有4个自由度。,例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由度为多少？,解：铰接链杆体系如图
10、b所示，增加链杆1、2. 体系的动力自由度为2。,例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少？,解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。,3. 结构的自振周期（频率）,结构自振周期的几种计算公式：,周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率的单位是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位为“Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。,注意：,（1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。,（2）
11、 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始条件及外界的干扰因素无关。,例：图a所示结构频率为i，求图b所示结构频率。,解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.,k=k1+k2+k3,4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数,(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移动力系数相同。,动力系数:,计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。,计算结构的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，并将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算。,(2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一的动力系数。
12、,(3) 最大位移和最大内力的计算,振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。,5. 阻尼对振动的影响,(1) 考虑阻尼时体系的自振频率,通常很小，一般结构可取 r 。,(2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。,其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。,1为小阻尼，体系具有振动的性质；1（大阻尼）和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。,（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫振动中, 阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系
13、数为：,当 的值在0.751.25之内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著。,（4）动荷载频率的大小与结构受力特点的关系。,当外荷载的频率很大时 ()，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。,当外荷载的频率很小时（)，体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。,当外荷载接近自振频率时( )，弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。,6. 多自由度体系主振型的正交性,当 i j 时，两个主振型具有正交性，即质量正交和刚度正交。,Y(i) TM Y(j) =0Y(i) TK Y(j) =0,由于质量正交计
14、算简单，所以常用它来校核主振型的计算结果。但应能够形成正确的质量矩阵。,。,解：,例：体系的质点位移编号如图所示，写出体系的质量矩阵M。,7. 能量法计算自振频率,能量法求自振频率是一种近似计算方法。,设结构单位杆长的质量为m，结构中有若干个集中质量m。 根据结构的边界约束条件和变形特点，选择一条位移曲线Y（x）作为某一主振型（通常是第一主振型）的近似曲线，则可按下式求得频率的近似值。,若取结构在自重q(x)作用下的弹性曲线Y（x）作为振型线，则频率公式为：,8. 对称性利用,振动体系的对称性是指：结构对称，质量分布对称或动荷载对称。,对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称性而得到简化：
15、将体系的自由振动视为对称振动与反对称振动的叠加，对两种振动分别取半结构进行计算；对于体系的强迫振动，则宜将荷载分解为对称与反对称两组。对称荷载作用时，振动形式为对称的；反对称荷载作用时，振动形式为反对称的， 可分别取半结构计算。,选择变形曲线时应考虑结构的边界条件（位移边界条件和力的边界条件）,其中位移边界条件必须满足，否则将导致很大的误差，通常取等截面杆的自重q(x)作用下的变形曲线作为振型曲线Y(x)，由于它能较好地满足边界条件，所得结果的近似程度都较好。,例：求图a所示体系的自振频率。,解：设该体系振动时转角的幅值为（图b）。当位移达到幅值时，质量m1和m2上的惯性力也同时达到幅值，其大小为,于是，可就幅值处列出动力平衡方程如下：,由此可求得:,例： 求图a所示结构的自振频率，EI=常数, 弹簧的刚度系数 k=6EIl3。,解： 本题的重点是求柔度系数， 用力法， 取图b的基本体系。力法典型方程为,，,另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在质点m处的刚度系数为k2，k2=1/2 ，由M 图（图c）可求得2,
