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1、2.7 二次根式,第二章 实数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根式及其化简,学习目标,1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河,复习引入,问题1 什么叫做平方根?,一
2、般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.,问题2 什么叫做算术平方根?,如果 x2 = a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.,问题3 什么数有算术平方根?,我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.,思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？,(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m,(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m,图,图,（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5
3、t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_,问题1 这些式子分别表示什么意义？,分别表示2，S，3， 的算术平方根,上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ,讲授新课,根指数都为2;,被开方数为非负数.,问题2 这些式子有什么共同特征？,归纳总结,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.,注意：a可以是数，也可以是式.,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否
4、,分析：,典例精析,例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义?,解：由x-20，得,x2.,当x2时， 在实数范围内有意义.,【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：由题意得x-10，,x1.,解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：(1)无论x为何实数，当x=1时， 在实数范围内有意义.(2)无论x为何实
5、数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.,被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；,(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：,(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A0；,(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B0.,归纳总结,1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ）,A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,B,2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;,(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是
6、_.,x 1,x 0且x2,练一练,问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？,前者x为全体实数；后者x为正数和0.,当a0时， 表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时， 0.,问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：,（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 0.,二次根式的被开方数非负,二次根式的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,例3 若 ，求a -
7、b+c的值.,解：,由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.,所以a-b+c=2-3+4=3.,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,典例精析,例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.,解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为5,【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长,解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11,若 ，则根据被开方
8、数大于等于0，可得a=0.,已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根,解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.,练一练,（1）, ，, ；, ，, ；, ，, ；, ，, ,6,6,20,20,填一填,有何发现？, ，,6.480, ；,（2）用计算器计算：, ，, ,6.480,0.9255,0.9255,有何发现？,要点归纳,（a0， b0）,商的算术平方根等于算术平方根的商,积的算术平方根等于算术平方根的积,例5：化简,解：(1)(2)(3),（1） ；（2） ；（3） .,最简二次根式：,一般地，被开方
9、数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.,要点归纳,例6：化简：,解:,例7. 化简:,解：,最简二次根式的条件：,是二次根式；,被开方数中不含分母；,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,要点归纳,当堂练习,2.式子 有意义的条件是 （ ）,A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个,D,1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）,C,A,4.当x_， 在实数范围内有意义,解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.,方法总结：使一个代
10、数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零,4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？,5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围,解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2,(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围,解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.,6.若x，y是实数，且y ,求 的值.,解：根据题意得，x=1.y ,y ， .,7.先阅读，后回答问题：当x为何值时， 有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时， 有意义.,能力提升：,体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？,解：由题意得则 解得x2或x ，即当x2或x 时， 有意义,课堂小结,二次根式,定义,带有二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.,被开方数为非负数,二次根式的双重非负性,二次根式 中,a0且 0,最简二次根式,同学们,加油！,
