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1、第7章 参数估计,参数的点估计 估计量优劣性的评价 参数的区间估计,1,第7章 参数估计 参数的点估计1,参 数 估 计,在实际问题中，对于一个总体X往往是仅知其分布的类型，而其中所含的一个或几个参数的值却是未知的，因此只有在确定这些参数后，才能通过其分布来计算概率，如何确定这些参数的数值呢？这就是统计推断中的“参数估计”问题。,2,参 数 估 计 在实际问题中，对于一个总体X往往是,本章只研究总体分布是连续型或离散型两种情形。为简便起见，我们引入一个对这两种情形通用的概念：概率函数。我们称随机变量X的概率函数为f(x)是指： 在连续型情形，f(x)是X的密度函数。 在离散型情形，f(x)是X
2、=x的概率。,3,本章只研究总体分布是连续型或离散型两种情形。为简,定义 构造一个统计量 作定值的估计称为参数的点估计。,7.1 点估计,4,定义 构造一个统计量,矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存在k阶矩，对任意 有,这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶矩差别很小。,7.1.1、矩法估计,5,矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存在k阶,（1）列出估计式。,步骤为:,6,（1）列出估计式。步骤为:6,（2）求解关于估计量的方程组。,（3）求出矩估计。,组,7,（2）求解关于估计量的方程组。（3）求出矩估计。组7,解,例1,（1）列出估计式。,（2）求解关于估计量的方程组。,
3、8,解例1（1）列出估计式。（2）求解关于估计量的方程组。8,（3）求出矩估计。,9,（3）求出矩估计。9,注意：只要总体的期望和方差存在，此结果对任何总体均适用。,10,注意：只要总体的期望和方差存在，此结果对任何总体均适用。10,解,例2,总体,求a，b的矩估计。,11,解例2总体求a，b的矩估计。11,例3,解,12,例3解12,还可由,13,还可由13,7.1.2、最大似然估计法,最大似然估计法是求估计的另一种方法。它最早由 高斯（C.F.Gauss）提出，后来被费歇（R.A.Fisher）完善。极大似然估计这一名称也是费歇给的。这是一个目前仍得到广泛应用的方法。它是建立在最大似然原理
4、基础上的一个统计方法。,最大似然原理：一次试验就发生的事件，其发生的是概率最大的。,14,7.1.2、最大似然估计法 最大似然估计法是,定义,注意：,最大似然估计。,15,定义注意：最大似然估计。15,具体步骤：,1)总体为离散型分布。,16,具体步骤：1)总体为离散型分布。16,2)总体为连续型分布。,17,2)总体为连续型分布。17,似然方程,18,似然方程18,19,19,20,20,例4,21,例421,解,22,解22,从而得p的极大似然估计量为：,23,从而得p的极大似然估计量为：23,例5,解,24,例5解24,25,25,例6,解,26,例6解26,27,27,例7,28,例7
5、28,解,29,解29,30,30,即,相应的极大似然估计量为：,31,即相应的极大似然估计量为：31,例8,解,32,例8解32,另外，由于,33,另外，由于33,例9,解,34,例9解34,35,35,7.1.3、顺序统计量估计,总体是连续型随机变量且分布密度对称时，总体中位数就是均值。此时可用样本中位数（见P102）估计总体均值，用样本极差估计总体标准差。,36,7.1.3、顺序统计量估计 总体是连续型随机,点估计的方法：一、矩估计法（也称数字特征法） 直观意义比较明显，但要求总体k阶矩存在。二、极大似然估计法。 具有一些理论上的优点，但要求似然函数可微。三、顺序统计量法 使用起来方便，
6、无需多大计算，但准确度不高。,37,点估计的方法：37,定义7.2.1,7.2 估计量优劣性的评价,38,定义7.2.17.2 估计量优劣性的评价38,39,39,例1,试问这两个估计量是否为无偏估计量？,解,40,例1试问这两个估计量是否为无偏估计量？解40,41,41,42,42,下面计算它们的方差。,43,下面计算它们的方差。43,44,44,45,45,例2,46,例246,解,47,解47,例3,证明,48,例3证明48,由于方差是度量随机变量Y落在它的均值EY的邻域内的集中或分散程度的。所以一个好的估计量Y，不仅应该是待估参数的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。,49,由于方差是
7、度量随机变量Y落在它的均值EY,定义,50,定义50,定义7.2.2,51,定义7.2.251,证明,例4,52,证明例452,例5,解,53,例5解53,我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望当子样容量无限增大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这就是所谓一致性的要求。,54,我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望,定义7.2.3,注意：,55,定义7.2.3注意：55,下面证明：,56,下面证明：56,证明（1）,57,证明（1）57,（2）,58,（2）58,（3）,59,（3）59,60,60,定义,7.3
8、 参数的区间估计,61,定义7.3 参数的区间估计61,注意：,在重复取样下，将得到许多不同的区间T1,T2 ，根据伯努利大数定理，这些区间中大约有100(1)%的区间包含未知参数。,随机区间T1,T2 包含的概率为1。,62,注意： 在重复取样下，将得到许多不同的区间,但对于一次抽样所得到的一个区间，决不能说“不等式 成立的概率为1 ”。因为这时T1、T2是两个确定的数，从而只有两种可能，要么这个区间包含g()，要么这个区间不包含g()。,63,但对于一次抽样所得到的一个区间，决不能说“不等,7.3.1 单个正态总体的区间估计,1、2已知，求的置信区间,64,7.3.1 单个正态总体的区间估
9、计1、2已知，求的置,65,65,66,66,例1,解,67,例1解67,2、2未知，求的置信区间,68,2、2未知，求的置信区间68,在例1中若滚珠直径的方差2未知，用同样的数据求的置信概率为0.95的置信区间。,解,例2,69,在例1中若滚珠直径的方差2未知，用同样的数据求的置信概率,分析例1和例2的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样的置信概率，对计算出的置信区间因为2的是否已知会不一样。这因为：当2为已知时，我们掌握的信息多一些，在其他条件相同的情况下，对的估计精度要高一些，即表现为的置信区间长度要小些。反之，当2为未知时，对的估计精度要低一些，即表现为的置信区间长度在大一些。,70
10、,分析例1和例2的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样,3、已知，求2的置信区间,构造变量,71,3、已知，求2的置信区间构造变量71,72,72,73,73,例3,解,74,例3解74,75,75,4、未知，求2的置信区间,76,4、未知，求2的置信区间76,77,77,7.3.2 两个正态总体的区间估计,78,7.3.2 两个正态总体的区间估计78,79,79,80,80,81,81,82,82,两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床、乙机床生产的滚珠中分别抽取8个、9个，测得这些滚珠的直径（单位:mm）如下:甲机床 15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，
11、14.8乙机床 15.2，15.0，14.8，15.1，15.0，14.6，14.8，15.1，14.5 两台机床生产的滚珠直径服从正态分布，求这两台机床生产的滚珠直径均值差12 的置信区间，置信概率为0.90，设（1）已知甲、乙机床生产的滚珠直径的标准差分别为1=0.18mm及2=0.24mm;（2）未知1，2，已知1=2 。,例4,83,两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床、乙机床生产的滚珠中,解,84,解84,85,85,86,86,87,87,88,88,89,89,90,90,91,91,例5,92,例592,解 （1）计算得,93,解 （1）计算得93,94,94,7.3.3 单个正态总体参数的联合区间估计,95,7.3.3 单个正态总体参数的联合区间估计95,96,96,97,97,故,98,故98,99,99,7.3.4 非正态总体参数的区间估计,100,7.3.4 非正态总体参数的区间估计 100,例 （两点分布的参数的区间估计）,解,101,例 （两点分布的参数的区间估计）解101,
