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1、可线性化的一元非线性回归,多重线性回归简介,可线性化的一元非线性回归 多重线性回归简介,前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实际应用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问题。,可线性化的一元非线性回归,常见的几种变换形式：,1、双曲线,令,前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实,2、幂函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,3、指数函数曲线,令,变形,2、幂函数曲线 令 化非线性回归为线性回归,4、负指数函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,5、对数函数曲线,令,4、负指数函数曲线 令 化非线性回归为线性回归,6、S型（
2、Logistic）曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,6、S型（Logistic）曲线 令 化非线性回,例1 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表,由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量为k=2.827，试求y对x的回归曲线方程。,解 由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为,例1 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，x/周,令,则有,列表计算,令 则有 列表计算 序号xyyX2y2xy120,所以,所以所求曲线方程为,所以 所以所求曲线方程为,上机操作,输入原始数据,上机操作 输入原始数据,上机操作,计算,上机操作 计算,上机操作,上机操作,
3、上机操作,上机操作,上机操作,是y*，而不是y,自变量,上机操作 是y*，而不是y 自变量,上机操作,回归方程，还要回代系数,上机操作 回归方程，还要回代系数,多重回归分析,在实际问题中，自变量的个数可能多于一个，随机变量 y与多个可控变量x1,x2,x3,xk之间是否存在相关关系，则属于多重（元）回归问题。本节讨论多重线性回归。,多重回归分析 在实际问题中，自变量的个数可能,多重线性回归模型,随机变量 与 之间的线性关系,(1),其中,未知,则（1）式称为多重线性回归模型。,多重线性回归模型 随机变量 与,多重线性回归模型,若对变量 与 分别作n次观测，则可得一个容量为n的子样,(2),其中
4、,为待定参数，称为回归系数。,（2）式含有k+1个参数，故观测次数应满足nk+1。,则有,多重线性回归模型 若对变量 与,多重线性回归模型的矩阵形式,记,则（2）有矩阵形式,其中,多重线性回归模型的矩阵形式 记 则（2）有矩阵形式,确定 的最小二乘法,考虑多元函数,目标：确定 使 最小,方法：,解得,多重线性回归方程,确定 的最小二乘法 考虑多元函数 目标：,线性回归方程的有效性检验方差分析法,线性回归方程是否有统计意义，可检验假设,是否成立,方法：方差分析法，将总离差平方和分解,线性回归方程的有效性检验方差分析法 线性,线性回归方程的有效性检验方差分析法,回归平方和，反映线性关系对观测结果产
5、生的数据波动，SSR越大，线性相关关系越强。,剩余平方和（或残差平方和），反映除线性因素之外的其它因素对观测结果产生的数据波动，SSE越大，则其它因素对Y的影响越大。,线性回归方程的有效性检验方差分析法 回归平方和，,线性回归方程的有效性检验方差分析法,在H0成立的条件下，可以证明：,（n为观测次数，k为自变量个数）,构造F统计量,当 时，拒绝H0。,线性回归方程的有效性检验方差分析法 在H0成立的条件,回归系数的统计检验,回归方程的有效性检验，只是解决了 与之间是否有线性相关关系，至于变量 对 的影响是否有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数 是否为0作统计检验。,提出假设,如果H0成立
6、，可以证明统计量,当 时，拒绝H0。,回归系数的统计检验 回归方程的有效性检,利用回归方程作预测及控制,对于给定的,点估计值,置信水平为 的预测区间为,利用回归方程作预测及控制 对于给定的 点估计值,例2 某种水泥在凝固时放出的热量Y（cal/g）与水泥中下列4种化学成分有关：,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,现记录了13组观测数据，列在下表中，试求 对 的线性回归方程。,例2 某种水泥在凝固时放出的热量Y（cal/g）与水泥中的,编号X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g）,上机操作,上机操作,可线性化的一元非线性回归讲解课件,因变量,自变量,因变量 自变量,线性方程是有效的,线性回归方程,线性方程是有效的 线性回归方程,作 业,作 业,
