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1、2022年11月7日星期一,主析取范式和主合取范式,试化下列公式为主析取范式和主合取范式，并判断各公式类型( P Q) (P Q), ( P Q) (P Q) ( Q P) (PQ)( P Q)(QP) (PQ)(QP) P) (QP) Q) (PQ)( PQ)( PP)( QQ)( QP) ( PQ)(P Q)(PQ) m01m10m11 M00,是偶然式,27 九月 2022主析取范式和主合取范式试化下列公式为主析,2022年11月7日星期一,主析取范式和主合取范式,试化下列公式为主析取范式和主合取范式，并判断各公式类型P( P (Q ( Q R), P(P (Q (QR) PQR M00
2、0 m001m010m011m100m101m110m111,是偶然式,27 九月 2022主析取范式和主合取范式试化下列公式为主析,2022年11月7日星期一,主析取范式和主合取范式,试化下列公式为主析取范式和主合取范式，并判断各公式类型(P (QR) ( P ( Q R), ( P(QR) (P (Q R) ( PQ)( PR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) M000 M100 M101 M110 m001m010m011m111,是偶然式,用同一律和互补律(A A (B B )，补充简单析取式中未出现的命题变元，并用分配律展开,27 九月 2022主析取范式和主合取
3、范式试化下列公式为主析,2022年11月7日星期一,主析取范式和主合取范式,试化下列公式为主析取范式和主合取范式，并判断各公式类型(P Q) R) P, ( (P Q) R) P ( (P Q) R) P (PQP)(RP) (PQ)(PR) (PQR)(PQR)(PQR) M000M001M011 m010m100m101m110m111,是偶然式,27 九月 2022主析取范式和主合取范式试化下列公式为主析,2022年11月7日星期一,主析取范式,真值表法：例1.37：求 (P Q) Q 的主析取范式, (P Q) Q ( PQ) (PQ) m01 m11,27 九月 2022主析取范式真
4、值表法：P Qm00m01,2022年11月7日星期一,主合取范式,真值表法：例1.40：求 (P Q) Q 的主合取范式, (P Q) Q (PQ) ( PQ) M00 M10,27 九月 2022主合取范式真值表法：P QM00M01,2022年11月7日星期一,分别用真值表法和公式法求(P(QR)(P(QR)的主析取范式与主合取范式（10分）,主析取范式和主合取范式,27 九月 2022分别用真值表法和公式法求(P(QR),2022年11月7日星期一,命题逻辑,已知命题公式 A(P, Q, R)，并且知道只有当赋值为001、110和111时公式真值为假。求命题公式A(P, Q, R)的主
5、析取范式为_。,27 九月 2022命题逻辑已知命题公式 A(P, Q, R,2022年11月7日星期一,命题逻辑的推理理论,符号化下述论断，并证明其有效性。如果今天是周一，则进行离散数学或C语言其中一门考试如果C语言老师有会，则不考C语言今天是周一C语言老师有会所以：进行离散数学考试,设：P：今天是周一， Q：考C语言， R：考离散数学， S：C语言老师有会，,P Q R,S Q,P,S,R,27 九月 2022命题逻辑的推理理论符号化下述论断，并证明,2022年11月7日星期一,命题逻辑的推理理论,前提： P Q R ， S Q ， P ， S 结论： R证明：(1)P P(2)P Q R
6、 P(3)Q R T (1) (2) I8(4) ( Q R ) T (3)(5) Q R T (4) E12(6) Q R T (5) I18(7)S P(8)S Q P(9) Q T (7) (8) I8(10)R T (6) (9) I8,27 九月 2022命题逻辑的推理理论前提： P Q ,2022年11月7日星期一,命题逻辑的推理理论,符号化下面命题，并推证之。如果厂方拒绝增加工资，则罢工不会停止除非罢工超过一年，并且工厂厂长辞职因此：若厂方拒绝增加工资，而罢工又刚刚开始， 罢工是不会停止的,设：P：厂方拒绝增加工资， Q：罢工会停止， R：罢工超过一年， S：工厂厂长辞职，,(P
7、 Q) ( RS ),P R Q,27 九月 2022命题逻辑的推理理论符号化下面命题，并推证,2022年11月7日星期一,习题23,前提： (P Q) ( RS ) 结论： P R Q证明：(1)Q P（假设前提）(2)(P Q) ( R S ) P(3) ( RS ) (P Q) T (2) I18(4) (RS) ( P Q)T (3) E11(5) Q ( P(RS) )T (4) E2 E3(6)Q ( PR)( PS) T (5) E11 E3(7)( PR)( PS)T (1)(6) I8(8) PR T (7) I1(9) ( P R ) T (8) E5 (10) Q ( P
8、 R )CP (1) (9)(11)P R Q T (10) E11,27 九月 2022习题23前提： (P Q) ,2022年11月7日星期一,习题23,前提： (P Q) ( RS ) 结论： P R Q证明：(1)P R P（假设前提）(2)(P R) (P S)T (1) I3(3)P ( R S )T (2) E4(4) P ( R S )T (3) E5(5) ( R S ) T (4) I1(6)(P Q) ( R S ) P(7) ( RS ) (P Q) T (6) I18(8)P Q T (5)(7) I18(9)P T (4) I1(10) Q T (8) (9) I8
9、(11)P R Q CP (1) (10),27 九月 2022习题23前提： (P Q) ,2022年11月7日星期一,只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好。,命题逻辑的推理理论,27 九月 2022只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,构造证明下列各式(x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) Q(x)(x) (P(x) Q(x), (x) (R(x) Q(x) (x) (R(x) P(x) (x)(P(x) Q(x) (x)P(x) (
10、x)Q(x),27 九月 2022谓词逻辑的推理理论构造证明下列各式,2022年11月7日星期一,习题20,证明：(1)(x)P(x) (x)Q(x)P(2) (x)P(x)(x)Q(x) T (1) E11 (3)(x) P(x)(x)Q(x)T (2) Q(4)(x)( P(x)Q(x)T (3) Q (5)(x)(P(x) Q(x) T (4) E11,1) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) Q(x),27 九月 2022习题20证明：(1)(x)P(x),2022年11月7日星期一,习题20,证明：(1) (x) (R(x) P(x)P(附加前提)(2) (x) ( R
11、(x) P(x) T (1) E11 (3)(x) (R(x)P(x) T (2) Q E1 E5(4)R(y)P(y) EI (3) (5)R(y) T (4) I1 (6)(x) (R(x) Q(x)P(7)R(y) Q(y) UI (6) (8) Q(y) T (5) (7) I8 (9)(x) (P(x) Q(x)P(10)P(y) Q(y) UI (9) (11)P(y) T (4) I2 (12)Q(y) T (10)(11) I8 (13)Q(y) Q(y)T (8)(12),2) (x) (P(x) Q(x), (x) (R(x) Q(x) (x) (R(x) P(x),27
12、九月 2022习题20证明：(1) (x) (,2022年11月7日星期一,习题20,证明：(1)(x)P(x)P(附加前提)(2)P(y) UI (1) (3)(x)(P(x) Q(x) P(4)P(y) Q(y) UI (3) (5)Q(y) T (2)(4) I8(6)(x) Q(x) UG (5)(7)(x)P(x) (x)Q(x) CP(1)(6),3) (x)(P(x) Q(x) (x)P(x) (x)Q(x),27 九月 2022习题20证明：(1)(x)P(x),2022年11月7日星期一,谓词逻辑,设论域元素为a1，a2，a3，a4，则 ； 。,27 九月 2022谓词逻辑设
13、论域元素为a1，a2，a3，a,2022年11月7日星期一,前束范式,在下列公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)(P(x)(Q(x)R(x)(x)(R(x)(y)S(x, y) (x) (P(x) Q(x) (x) (R(x)S(x),改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元x改为v 把第三个约束变元y改为w,改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元x改为v,(u)(P(u)(Q(u)R(u)(v)(R(v)(w)S(v, w),(u) (P(u) Q(u) (v) (R(v)S(v),27 九月 2022前束范式在下列公式中，对约束变元进行改名,2022年11
14、月7日星期一,前束范式,在下列公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)P(x, y)(x)(Q(x, z)(z)(x)R(x, y, z),改名：把第一个约束变元x改为u，把第四个约束变元x改为v,改名：把第二个约束变元x改为s，把第三个约束变元z改为t,(u)P(u, y)(x)(Q(x, z)(z)(v)R(v, y, z),(u)P(u, y)(s)(Q(s, z)(t)(v)R(v, y, t),代入：将第一个自由变元y代入r，将第二个自由变元z代入w,(u)P(u, r)(s)(Q(s, w)(t)(v)R(v, r, t),27 九月 2022前束范式在下列公式中，对约
15、束变元进行改名,2022年11月7日星期一,前束范式,在下列公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)(P(x, y) (z)Q(x, z) (y)R(x, y),改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元z改为v 把第三个约束变元y改为w,代入：将第一个自由变元y代入s，将第二个自由变元x代入t,(u)(P(u, y) (v)Q(u, v) (w)R(x, w),(u)(P(u, s) (v)Q(u, v) (w)R(t, w),27 九月 2022前束范式在下列公式中，对约束变元进行改名,2022年11月7日星期一,等价式,量词辖域的扩大与缩小（小结） (x)(A (x)
16、B) (x)A (x) B(x)(A (x) B) (x)A (x) B(x)(A (x) B) (x)A (x) B(x)(A (x) B) (x)A (x) B(x)(A (x) B) (x)A (x) B (x)(A (x) B) (x)A (x) B(x)(B A (x) B (x)A (x)(x)(B A (x) B (x)A (x),27 九月 2022等价式量词辖域的扩大与缩小（小结） (,2022年11月7日星期一,前束范式,例2.11：将公式(x)P(x) (y)Q(y) (x)R(x)化为前束范式,解： 公式 (x)P(x) (y)Q(y) (z)R(z) (x) (P(x
17、) (y)Q(y) (z)R(z) (x)(y) ( P(x) Q(y) (z)R(z) (x)(y) (P(x) Q(y) (z)R(z) (x)(y)(z) (P(x) Q(y) R(z),解： （公式(x)(y)(z) (P(x) Q(y) R(z) ）公式 (x)P(x) (y)Q(y) (z)R(z) (y) (x)P(x) Q(y) (z)R (z) (y)(x) ( P(x) Q(y) (z)R (z) (y)(x)(z) (P(x) Q(y) R (z),若公式中有约束变元重复出现，或者与公式中的自由变元重名，则将公式中的约束变元改名,前束范式不是唯一的,27 九月 2022前
18、束范式例2.11：将公式(x)P,2022年11月7日星期一,求下列公式的前束范式 ( x)(y)A(x,y) (x)( y)(B(x,y) ( y)(A(y,x) B(x,y),(x)(y)A(x,y)(u)(v)( B(u,v)(w)(A(w,u)B(u,w),(x)(y)(u)(v)(w)(A(x,y)( B(u,v)(A(w,u)B(u,w),前束范式,27 九月 2022求下列公式的前束范式(x)(y)A,2022年11月7日星期一,( x)(P(x)(y)Q(y)(y)R(x,y),前束范式,27 九月 2022( x)(P(x)(y)Q(y),2022年11月7日星期一,谓词逻辑
19、的推理理论,符号化下列各命题，并给出构造推理证明。每一个自然数不是奇数就是偶数自然数是偶数当且仅当它能被2整除并不是所有自然数都能被2整除所以：有的自然数是奇数,设：N(x)：x是自然数， O(x)：x是奇数， E(x)：x是偶数， T(x)：x能被2整除,(x)(N(x) O(x) E(x) ),(x)(N(x)(E(x) T(x), (x)(N(x) T(x) ),(x)(N(x)O(x),27 九月 2022谓词逻辑的推理理论符号化下列各命题，并给,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,前提： (x)(N(x) O(x)E(x) , (x)(N(x)(E(x) T(x) , (
20、x)(N(x) T(x)结论： (x)(N(x)O(x)证明：(1) (x)(N(x) T(x) ) P(2) (x)( N(x)T(x) T (1) E11 (3)(x)(N(x) T(x)T (2) Q, E1, E5(4)N(y) T(y) EI (3)(5)N(y) T (4) I1(6)(x)(N(x)(E(x) T(x) P(7)N(y)(E(y) T(y) UI (6)(8)E(y) T(y) T (5)(7) I8(9)E(y) T(y) T (8) I18,27 九月 2022谓词逻辑的推理理论前提： (x)(N(,2022年11月7日星期一,习题22(1),(10) T(y
21、) T (4) I1(11) E(y) T (9)(10) I9 (12)(x)(N(x) O(x)E(x) P(13)N(y) O(y)E(y) UI (12)(14)O(y)E(y) T (5)(13) I8(15) ( O(y) E(y) )T (14)(16)O(y) E(y) T (15) E12(17)O(y) T (11)(16) I8(18)N(y) O(y) T (5)(17)(19)(x)(N(x)O(x) EG (18),(4)N(y) T(y) EI (3)(5)N(y) T (4) E1(9)E(y) T(y) T (8) E18,27 九月 2022习题22(1)(
22、10) T(y),2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,符号化下列各命题，并给出构造推理证明。如果一个人怕困难，那么他就不会获得成功每个人或者获得成功，或者失败过有些人未曾失败过所以：有些人不怕困难,设：P(x)：x是人， D(x)：x怕困难， S(x)：x成功， F(x)：x失败,(x)(P(x) D(x) S(x),(x)(P(x) (S(x) F(x),(x)(P(x) F(x),(x)(P(x) D(x),27 九月 2022谓词逻辑的推理理论符号化下列各命题，并给,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,前提： (x)(P(x)D(x) S(x), (x)(P(x)
23、 (S(x)F(x), (x)(P(x) F(x)结论： (x)(P(x) D(x)证明：(1)(x)(P(x) F(x) P(2)P(y) F(y) EI (1) (3)P(y) T (2) I1(4) F(y) T (2) I1(5)(x)(P(x) (S(x)F(x) P(6)P(y) (S(y)F(y) UI (5) (7)S(y)F(y) T (3)(6) I8(8)S(y) T (4)(7) I10,27 九月 2022谓词逻辑的推理理论前提： (x)(P(,2022年11月7日星期一,习题22(2),(9)(x)(P(x)D(x) S(x) P(10)P(y)D(y) S(y)
24、UI (1) (11) (P(y)D(y)T (8)(10) I9(12) P(y) D(y)T (11) E5(13) D(y) T (3) (12) I10(14)P(y) D(y) T (3) (13) (15) (x)(P(x) D(x) EG (14),(3)P(y) T (2) I1(8)S(y) T (4)(7) I10,27 九月 2022习题22(2)(9)(x)(P(,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,符号化下列各命题，并给出构造推理证明。每个科学工作者都是刻苦钻研的每个刻苦钻研而又聪明的科学工作者都将获得事业的成功华有为是一名科学工作者，并且他是聪明的所以：
25、华有为将获得事业上的成功,S(x)：x是科学工作者，H(x)：x刻苦钻研， C(x)：x是聪明的P(x)：x在获得事业上的成功，a：华有为,(x)(S(x) H(x),(x)(S(x)H(x)C(x) P(x),S(a) C(a),P(a),27 九月 2022谓词逻辑的推理理论符号化下列各命题，并给,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,前提： (x)(S(x) H(x), (x)(S(x)H(x)C(x) P(x), S(a) C(a)结论： P(a)证明：(1)(x)(S(x) H(x) P(2)S(a) H(a) UI (1) (3)S(a) C(a) P(4)S(a) T
26、(3) I1(5)H(a) T (2)(4) I8(6)(x)(S(x)H(x)C(x) P(x) P (7)S(a)H(a)C(a) P(a) UI (6) (8)P(a) T (3)(5)(7) I8,27 九月 2022谓词逻辑的推理理论前提： (x)(S(,2022年11月7日星期一,谓词逻辑的推理理论,符号化下列各命题，并给出构造推理证明。每个资深名士，或是政协委员，或是国务院参事资深名士张大为不是政协委员，但他是中科院院士所以：有的中科院院士是国务院参事,K(x)：x是资深名士，Z(x)：x是政协委员， G(x)：x是国务院参事，S(x)：x是中科院院士，a：张大为,(x)(K(x
27、) (Z(x) G(x),K(a) Z(a) S(a),(x)(S(x)G(x),27 九月 2022谓词逻辑的推理理论符号化下列各命题，并给,2022年11月7日星期一,习题22(4),证明：(1)(x)(K(x) (Z(x) G(x) P(2)K(a) (Z(a) G(a) UI (1) (3)K(a) Z(a)S(a) P(4)K(a) T (3) I1(5)Z(a) G(a)T (2)(4) I8(6) Z(a) T (3) I1 (7)G(a) T (5)(6) I10(8)S(a) T (3) I1(9)G(a) S(a) T (7) (8) (10) (x)(S(x)G(x) E
28、G (9),前提： (x)(K(x) (Z(x) G(x), K(a) Z(a)S(a) 结论： (x)(S(x)G(x),27 九月 2022习题22(4)证明：(1)(x)(,2022年11月7日星期一,每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。,谓词逻辑的推理理论,27 九月 2022每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有,2022年11月7日星期一,集合,设A、B、C、D是集合，求证： (A B)(C D) (AC) (BD),证明：对于 (A B) (C D) 中的任意元素，有： (A B)(C
29、 D) x (A B) y (C D) (x A x B) (y C y D) (x A y C) (x B y D) (AC) (BD) (AC) (BD),27 九月 2022集合设A、B、C、D是集合，求证：,2022年11月7日星期一,集合,20. 4) (A - B)C = (AC) - (BC),证明：对于 (A - B)C中的任意元素，有 (A - B)C x (A - B) y C (x A x B) y C (x A y C x B )(x Ay C y C ) (x A y C) (x B y C ) (x A y C) (x B y C ) (AC) (BC) (AC)
30、- (BC),27 九月 2022集合20. 4) (A - B)C,2022年11月7日星期一,集合,求证：若AA = BB，则：A=B,证明：假设 A B，则必存在x，有 x A x B，或存在y，有 y A y B若存在x，有x Ax B，则 AA，且 BB ，则 AA BB若存在y， y A y B ，则 BB，且 AA ，则 AA BB综上所述，可知：若AA = BB，则必有A=B,27 九月 2022集合求证：若AA = BB，则：A=,2022年11月7日星期一,集合,求证：若AB = AC，且A ，则：B=C,证明：假设 B C，则必存在y，有 y B y C，或存在z，有 z
31、 B z C，又因为A ，则必存在x A。若存在y，有 y B y C ，有 AB，且 AC ，则 AB AC若存在z，有 z B z C ，有则 AB，且 AC ，则 AB AC综上所述，可知：若AB = AC，且A ，则必有B=C,27 九月 2022集合求证：若AB = AC，且A ,2022年11月7日星期一,设A、B、C、D为四个非空集合，则AB CD的充要条件是A C，B D 已知A、B、C是三个集合，证明(AB)C(AC)(BC),集合,27 九月 2022设A、B、C、D为四个非空集合，则AB,2022年11月7日星期一,闭包运算,构造r(R)、s(R)、t(R)的方法就是给R
32、补充必要的有序对。设G是集合A上二元关系R的关系图，给G中所有结点都补充上有向环，就得到了R的自反闭包r(R) 的关系图。定理：若R AA，则r(R)=R IA证明：因为是IA自反的，因此R IA是自反的且 R R IA设R1是A上任意的自反关系，且R R1 ，由于R1是自反的，因此IA R1， 又因为R R1 ，因此R IA R1，故r(R)=R IA,参照定义,27 九月 2022闭包运算构造r(R)、s(R)、t(R),2022年11月7日星期一,闭包运算,设G是集合A上二元关系R的关系图，将G中所有的弧都画成“有来有往”（即如果有从a到b的弧，就有从b到a的弧）就得到了R的对称闭包s(
33、R) 的关系图。定理：若R AA，则s(R)=R R-1证明：1)设R1=R R-1，显然R R1 。2)因为R1-1= (R R-1)-1= R-1 (R-1)-1= R-1 R = R1 所以R1是对称的。,定理：若R AA，则R是对称的 R=R-1,27 九月 2022闭包运算设G是集合A上二元关系R的关系图,2022年11月7日星期一,闭包运算,3) 设R2是A上任意的对称关系，且R R2。对于任意 R1 ，或者 R，或者 R-1 若 R，则 R2；若 R-1 ，则 R，则 R2 ，又因为R2是对称的，所以 R2 ；所以R1 R2综上所述，证得 s(R)=R R-1,27 九月 202
34、2闭包运算3) 设R2是A上任意的对称关系,2022年11月7日星期一,闭包运算,设G是集合A上二元关系R的关系图，如果有从a到b的弧，并且有从b到c的弧，就补充上从a到c的弧，就得到了R的传递闭包t(R) 的关系图。定理：若R AA，则t(R)= Ri=R R2 R3 ,证明略（教材P73）,证明略（教材P74）,27 九月 2022闭包运算设G是集合A上二元关系R的关系图,2022年11月7日星期一,闭包运算,定理：若R是A上的二元关系，则：rs(R) = sr(R)证明： sr(R) = s(R IA) = (R IA) (R IA)-1 = (R IA) (R -1 IA-1) = (
35、R R -1) IA =r (R R -1) = rs (R),定理：若R AA，则r(R)=R IA,定理：若R AA，则s(R)=R R-1,27 九月 2022闭包运算定理：若R是A上的二元关系，则：,2022年11月7日星期一,闭包运算,定理：若R是A上的二元关系，则：rt(R) = tr(R)证明： 由于RIA= IAR=R，且IA IA = IA ； (R IA)2 = ( R IA ) ( R IA ) = R (R IA) IA (R IA) = IA R R2,R (S T) = R S R T,p73,27 九月 2022闭包运算定理：若R是A上的二元关系，则：,2022年
36、11月7日星期一,关系的闭包运算,设集合A=a,b,c,d上的关系R=,，用矩阵运算求出R的传递闭包,关系矩阵：,27 九月 2022关系的闭包运算设集合A=a,b,c,d,2022年11月7日星期一,自反闭包：r(R) = R IA,关系的闭包运算,所以，r(R) = , , , ,27 九月 2022自反闭包：r(R) = R IA关,2022年11月7日星期一,对称闭包：S(R) = MR MR-1,关系的闭包运算,27 九月 2022对称闭包：关系的闭包运算,2022年11月7日星期一,传递闭包：,关系的闭包运算,t(R) = , , , , , , , , ,27 九月 2022传递
37、闭包：关系的闭包运算t(R) = ,2022年11月7日星期一,等价关系与划分,设集合A=1,2,3,4,5，求A上的一个划分1,2,3,4,5的等价关系，并画出关系图：,解：R = (1,21,2) (33) (4,54,5)= , , , , , , ,27 九月 2022等价关系与划分设集合A=1,2,3,4,2022年11月7日星期一,等价关系与划分的对应关系,已知=ab,c是A=a,b,c的一个划分，由决定的A上的一个等价关系是 。,27 九月 2022等价关系与划分的对应关系已知=a,2022年11月7日星期一,等价关系的证明,设R和S是非空集合A上的等价关系，试确定下面各式是否为
38、等价关系。若是则证明之，若不是则举例说明：R2,证明：1) 对于 x A，有xRx。因此有xR2x，故R2是自反的2) 对于 x, y A， 若有xR2y， 则必存在z A，有xRz, zRy， 因为R是对称的，所以必定有：yRz, zRx，即有yR2x 。 也就是说：若有xR2y，则必有yR2x，故R2是对称的3) 对于x,y,z A，若有xR2y, yR2z，则 a,b A，有：xRa和aRy 以及 yRb和bRz，因为R是传递的，所以必定有：xRy, yRz。 则若有xR2y, yR2z，必有xR2z，故R2是传递的。R2是等价关系,是。,27 九月 2022等价关系的证明设R和S是非空
39、集合A上的等,2022年11月7日星期一,等价关系的证明,设R是A上的二元关系，对于a, b, c A，若aRb, bRc，则cRa，称R是循环的。求证：R是自反的和循环的，当且仅当R是等价关系,证明：1) 若R是等价关系，则R是自反的、对称的和传递的。对于a, b, c A，若aRb, bRc，因为R是传递的，所以有aRc又因为R是对称的，所以有cRa。所以R是循环的2) 若R是自反的和循环的，则对于a, b, c A，若aRb, bRc，则cRa因为R是自反的，所以有aRa，所以有aRc，所以R是传递的若有aRb，因为有bRb，则有bRa，所以R是对称的，故R是等价关系,cRa,aRa 则
40、aRc,27 九月 2022等价关系的证明设R是A上的二元关系，对于,2022年11月7日星期一,偏序关系的证明,设R是集合A上的偏序关系，且B A，求证：R (BB)是B上的偏序关系,证明：1) 对于x B，一定有： BB因为B A，所以x A，所以一定有： R所以，一定有 R (BB)，所以：R (BB)是自反的,27 九月 2022偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，,2022年11月7日星期一,偏序关系的证明,设R是集合A上的偏序关系，且B A，求证：R (BB)是B上的偏序关系,2) 对于x, y B，一定有 BB 且 BB 因为R是反对称的，所以若有 R且 R，则有x=y所以：
41、若有 R (BB)且 R (BB) ，则有： R 且 R，则有：x=y所以：R (BB)是反对称的,27 九月 2022偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，,2022年11月7日星期一,偏序关系的证明,设R是集合A上的偏序关系，且B A，求证：R (BB)是B上的偏序关系,3) 对于x, y, z B，一定有, , BB 因为R是传递的, 所以若有R且R, 则有R所以：若有 R (BB)且 R (BB) ，则有： R (BB) 所以：R (BB)是传递的。故R (BB)是B上偏序关系,27 九月 2022偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，,2022年11月7日星期一,设R1是A上的等
42、价关系，R2是B上的等价关系，A且B。关系R满足,RR1且R2，证明R是AB上的等价关系,27 九月 2022设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价,2022年11月7日星期一,哈斯图与偏序集中特殊位置的元素,图中给出了偏序集的哈斯图，其中A= a,b,c,d,e 判断下面各式的真假a bd ac eb e,F,a ab cd e,T,F,F,T,F,F,27 九月 2022哈斯图与偏序集中特殊位置的元素图中给出了,2022年11月7日星期一,哈斯图与偏序集中特殊位置的元素,图中给出了偏序集的哈斯图，其中A= a,b,c,d,e 求A中最大元和最小元求A中的极大元和极小元,最大元：a,最小元
43、：无,极大元：a,极小元：d 和 e,27 九月 2022哈斯图与偏序集中特殊位置的元素图中给出了,2022年11月7日星期一,图中给出了偏序集的哈斯图，其中A= a,b,c,d,e 求下面各子集的上界和下界并指出它们的上确界和下确界a, b, cb, c, dc, d, e,上界： 下界：上确界：下确界：,哈斯图与偏序集中特殊位置的元素,a,d,a,d,上界： 下界：上确界：下确界：,a,d,a,d,上界： 下界：上确界：下确界：,a,c,无,c,无,27 九月 2022图中给出了偏序集的哈斯图，其,2022年11月7日星期一,哈斯图,设A=2,5,6,10,15,30，R是A上的整除关系，
44、B=2,5,6,10，则B的极小元是 ，极大元是 ，最小元是 ，最大元是 ，上界是 ，下界是 ，上确界是 ，下确界是 。,27 九月 2022哈斯图设A=2,5,6,10,15,3,2022年11月7日星期一,函数,求证：从NN到N的函数f(x, y)=x+y，和g(x, y)=xy是满射函数，但不是单射函数,证明： 1) 对于x N，f(x,0)=x+0=x， g(x, 1)=x1=x因此，总存在NN，使得 f(x, 0) = x，所以f是满射的且总存在N，使得 g(x, 1) = x，所以g是满射的2) 因为有：, NN ，且 f(1, 3) = f(2, 2) = 4，且 g(1, 4)
45、 = f(2, 2) = 4 所以f和g都不是单射的,27 九月 2022函数求证：从NN到N的函数f(x, y,2022年11月7日星期一,函数,设 f: A B 是满射函数，且函数 g: B P(A)，定义为：g(b) = x|x A f(x)=b求证：g是单射的。其逆是否成立？,证明： 对于 b1, b2 B，且 b1 b2由于f是满射的，则必存在 a1,a2A，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2g(b1)=x|xAf(x)=b1, g(b2)=x|xAf(x)=b2则对于xg(b1)，有f(x)=b1，且有f(x)b2，即x g(b2)即对于 b1, b2 B，且 b1 b2，都有g(b1) g(b2)所以，g是单射的,27 九月 2022函数设 f: A B 是满射函数，且,2022年11月7日星期一,函数,设 f: A B 是满射函数，且函数 g: B P(A)，定义为：g(b) = x|x A f(x)=b求证：g是单射的。 设gf是复合函数，如果gf是双射，那么f是入射而g是满射,27 九月 2022函数设 f: A B 是满射函数，且,
