含参不等式恒成立问题的解法课件.ppt

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1、,含参不等式恒成立问题的解法,含参不等式恒成立问题的解法,一、基础知识点:、f(x)=ax+b,x ,,则: f(x)0恒成立 f(x)0恒成立 ,f()0f()0,f()0f()0,一、基础知识点:oxyf()0f()0,、ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是: _。,ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是: _。,、f(x)恒成立的充要条件是:_; f(x)恒成立的充要条件是:_。,、ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是:a=b=0,二、典型例题:例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) (1)当| x | 2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;(

2、2)当| m | 2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .,当1-m1, (*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为:,解:(1)当1-m=0即m=1时, (*)式恒成立, 故m=1适合(*) ;,(1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0,当1-m0时,即m1 ,(*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为:,=(m-1)2-12(I-m)0 ,,解得: -11m1;,解得: 1m,综上可知: 适合条件的m的范围是: -11m 。,二、典型例题: 当1-m,则 g(m)0恒成立,g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30,解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+

3、(x2-x+3) (m -2,2), x ( , ),例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) (1)当| x | 2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;(2)当| m | 2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .,则 g(m)0恒成立g(-2)=3x2-3x+3,练习1: 对于一切 |p| 2,pR,不等式x2+px+12x+p恒成立,则实数x的取值范围是: 。,x3,小结:1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。,2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。,练习1:x3小结:2、二次函数型问题,结合抛物线,y=x2+2,-,y=kx

4、,y=2 x,y= - 2 x,解:原不等式可化为:x2+2kx,例2、若不等式x2 0,对x -3,3恒成立,则实数k的取值范围是 。,设 y1= x2+2 (x -3,3) y2= kx,在同一坐标系下作它们的图象如右图:,由图易得: -2 k2,-2 k2,y=x2+2-211y=kxy=2 xy=,小结: 3、对于f(x)g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。,练习2、 若 kx-1 对x 1,+ ) 恒成立,则实数k的取值范围是:_。,k2,小结: 练习2、k2,例3、若不等式x +2 a(x+y)对一切正数x、y恒成 立,则实数a的取值范围是 。,令 (t

5、0),解: 分离参数得: a ,又 令1+2t=m(m 1),则,f(m)=, a f (x) max= 即a ,(当且仅当m= 时等号成立),恒成立, 则 a (t 0) 恒成立,例3、若不等式x +2 a(x+y)对一切正,小结: 4、 通过分离参数,将问题转化为f(x)(或f(x))恒成立,再运用不等式知识或求 函数最值的方法,使 问题获解。,小结:,例、已知a0,函数f (x)=ax-bx2,(1)当b1,证明对任意的x 0,1,|f(x)|1充要条件是: b-1a2 ;(2)当0b1,讨论:对任意的x 0,1,|f(x)|1充要条件。,例、已知a0,函数f (x)=ax-bx2,,

6、x (0,1, b1 bx+ 2 (x= 时取等号 ),bx - a +bx,解:(1) b1时,对x (0,1,|f(x)|1 -1ax-bx21,bx2-1 ax 1+bx2,故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2, ( bx- )max=b-1 (x=1时取得 ),又 bx - 在(0,1上递增,又 x=0时,|f(x)|1恒成立, x 0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2, x (0,1, b1 bx -,故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得),(2) 0b1时,对x (0,1,|f(x)|1 恒成立,此时 ( bx- )max=b-1 (x=1时

7、取得),故 (*)式成立的充要条件为: b-1ab+1, x (0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,而 bx + 在(0,1上递减,又 x=0时,|f(x)|1恒成立, x 0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,又 a0,故 ( bx+ )min =b+1,三、课时小结:,2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。,3、对于f(x)g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。,4、通过分离参数,将问题转化为f(x)(或f(x))恒 成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使 问题获解。,1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特

8、征求解。,三、课时小结:2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值,4 、已知f(x)= (x R) 在区间 -1,1上是增函数。(1)求实数 a 的值所组成的集合A;(2)设关于x 的方程f(x)= 的两根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意a A及t -1,1 恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。,1、当x (0,1)时,不等式x2 loga(x + 1)恒成立,则实数a的取值范围是_。,3、若不等式ax2-2x+20 对x (1,4)恒成立,求实数a的取值范围。,2、若不等式|x-a|+|x-1|2

9、对x R恒成立,则实数a的取值范围是_。,四、课后练习:,4 、已知f(x)= (x R),2.作y=x-1的图像,把y0的部分以x轴为对称轴翻上去,可以得到一个v字,最低点是(1,0),y=x-a图像最低点就是(a,0),画最低点在x轴上的V字,让两个函数叠加后大于2可得当最低点在(1,0)右边时,得到a3时成立当最低点在(1,0)左边时,a-1成立,2.作y=x-1的图像,把y0的部分以x轴为对称轴翻上去,,2. 把a,1看作是数轴上的两点|x-a|则是数轴上任一点X到点a的距离同理|x-1|则是数轴上任一点X到点1的距离从数轴图形中可以看出,只有当x位于a和1两点之间时,|x-a|+|x

10、-1|有最小值a-1若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立则只要a-12成立故a3或a-1,2. 把a,1看作是数轴上的两点|x-a|则是数轴上任一点,1.由函数图象可知,当x(0,1)时x2是单调增函数,loga(x+1)要恒大于x2只能满足a1,且x=1时也成立,所以,12.故最后结果为a2 3.用分离参数的方法 要先讨论a当a=0时, -2x+20 在(1,4)不恒成立 舍去当a0时, ax22x-2 ,即a 2/x-2/x2 要使ax2-2x+20在(1,4)上恒成立 则a要大于右边式子在(1,4)的最大值 令t=2/x, t的范围则为(1/2,2)则 2/x-2/x2 = 2t

11、-t2/2 = -1/2(t-2)2 + 2 这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t2 的最大值为 2(但取不到)所以a的范围是 2, 正无穷,1.由函数图象可知,当x(0,1)时x2是单调增函数,l,4.(1)求导得f(x)=-2x+2ax+4/(x+2)由题意f(x)0在x-1,1上恒成立即不等式x-ax-20恒成立.因此-a-10且a-10因此a-1,1,所以集合A=-1,1(2)由题意x1,x2是方程f(x)=1/x及方程x-ax-2=0两个非零实根.由韦达定理得x1+x2=a,x1x2=-2.所以|x1x2|=根号下a+83因此不等式式m+tm+1|x1x2|恒成立等价于m+t

12、m+13又因为t-1,1.因此m+m-20且m-m-20解得m2或m-2,4.(1)求导得f(x)=-2x+2ax+4/(x+2,1.成为世界上经济增长速度最快的国家,创造了世界经济增长史上的新奇迹。1.否定商品经济的存在,否定市场及价值规律对经济的调节作用。35、生命是以时间为单位的,浪费别人的时间等于谋财害命;浪费自己的时间,等于慢性自杀。 鲁迅36、社会上崇敬名人,于是以为名人的话就是名言,却忘记了他之所以得名是那一种学问或事业-鲁迅38、推销员接近顾客的方式,往往决定自己在他们心目中的地位是“接单者”还是“建议者”。39、事先写出自己所要提出的每点意见,以合乎逻辑的顺序表达出来:言简意骇,抓住重点。2、人生的成功,不在于拿到一幅好牌,而是怎样将坏牌打好。3、人生的路每一个人都要走一趟,同样是一条路每一个人走起来却有着不同的感受,是好是坏那就要靠几分的机缘与自己的抉择。38、推销员接近顾客的方式,往往决定自己在他们心目中的地位是“接单者”还是“建议者”。,1.成为世界上经济增长速度最快的国家,创造了世界经济增长史上,

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